Антуанстың алқасы - Antoines necklace - Wikipedia
Математикада Антуанның алқасы топологиялық кіріктіру болып табылады Кантор орнатылды комплементі емес үш өлшемді эвклид кеңістігінде жай қосылған. Бұл сондай-ақ бәріне деген қарсы мысал ретінде қызмет етеді Кантор кеңістігі бір-біріне қоршаған гомеоморфты. Ол арқылы ашылды Луи Антуан (1921 ).
Құрылыс
Антуанның алқасы итеративті түрде салынған: а-дан бастаңыз қатты тор A0 (қайталау 0). Содан кейін, ішіне жататын, кішігірім, байланған ториден «алқа» жасаңыз A0. Бұл алқа A1 (қайталау 1). Әр торус A1 орнына тағы басқа кішігірім алқамен ауыстыруға болады A0. Мұны істеу нәтиже береді A2 (қайталау 2).
Бұл процедураны құру үшін шексіз рет қайталануы мүмкін An барлығына n. Антуанның алқасы A барлық қайталанулардың қиылысы ретінде анықталады.
Қасиеттері
Қатты торилер қайталану саны өскен сайын ерікті түрде кіші болатын етіп таңдалғандықтан, қосылатын компоненттер A бір нүкте болуы керек. Мұны тексеру оңай A болып табылады жабық, өздігінен тығыз, және мүлдем ажыратылған, бар континуумның маңыздылығы. Бұл абстрактілі метрикалық кеңістік ретінде қорытынды жасауға жеткілікті A кантор жиынтығына гомеоморфты.
Алайда, Евклид кеңістігінің бір бөлігі ретінде A стандартты Cantor жиынтығына гомеоморфты емес C, ендірілген R3 үстінде сызық сегменті. Яғни, екі-үздіксіз карта жоқ R3 → R3 алып жүреді C үстінде A. Мұны көрсету үшін осындай карта болды делік сағ : R3 → R3және циклды қарастырыңыз к алқаға байланған. к бір нүктеге тигізбестен үздіксіз кішірейе алмайды A өйткені екі циклды үздіксіз ажырату мүмкін емес. Енді кез-келген циклды қарастырыңыз j бөліну C. j қол тигізбестен нүктеге дейін кішірейтуге болады C өйткені біз оны тек аралық аралықтар арқылы жылжыта аламыз. Алайда, цикл ж = сағ−1(к) бұл цикл мүмкін емес қол тигізбестен бір нүктеге дейін кішірейту C, бұл алдыңғы тұжырымға қайшы келеді. Сондықтан, сағ болуы мүмкін емес.
Шындығында, гомеоморфизмі жоқ R3 жіберіліп жатыр A Хаусдорф өлшемі жиынтығына <1, өйткені мұндай жиынның қосымшасы жай жалғанған болуы керек.
Антуанның алқасын қолданған Джеймс Вадделл Александр (1924 ) салу Антуанның мүйізді сферасы (ұқсас, бірақ бірдей емес Александрдың мүйіз саласы ).
Сондай-ақ қараңыз
Әдебиеттер тізімі
- Антуан, Луис (1921), «Sur l'homeomorphisme de deux figures et leurs voisinages», Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 4: 221–325
- Александр, Дж. В. (1924), «Антуан салған нүкте туралы ескертпелер», Америка Құрама Штаттарының Ұлттық Ғылым Академиясының еңбектері, 10 (1): 10–12, Бибкод:1924 ПНАС ... 10 ... 10А, дои:10.1073 / pnas.10.1.10, JSTOR 84203, PMC 1085501, PMID 16576769
- Бречнер, Беверли Л .; Майер, Джон С. (1988), «Антуанның алқасы немесе алқаны құлап қалудан сақтауға болады», Колледждің математика журналы, 19 (4): 306–320, дои:10.2307/2686463, JSTOR 2686463
- Пью, Чарльз Чэпмен (2002). Нақты математикалық анализ. Springer Нью-Йорк. бет.106–108. дои:10.1007/978-0-387-21684-3. ISBN 9781441929419.