Негіз (әмбебап алгебра) - Basis (universal algebra)

Жылы әмбебап алгебра, а негіз - кейбіреулерінің ішіндегі құрылым (әмбебап) алгебралар, деп аталады тегін алгебралар. Ол барлық алгебра элементтерін өз элементтерінен тәуелсіз түрде алгебра амалдары арқылы жасайды. Ол сонымен қатар эндоморфизмдер алгебраның алгебра элементтерінің белгілі бір индекстері бойынша, олар әдеттегіге сәйкес келуі мүмкін матрицалар еркін алгебра а болған кезде векторлық кеңістік.

Анықтамалар

A негіз (немесе анықтама жүйесі) (әмбебап) алгебраның а функциясы ${displaystyle b}$ бұл кейбір алгебра элементтерін мән ретінде қабылдайды ${displaystyle b (i)}$ және келесі екі эквиваленттік шарттардың біреуін қанағаттандырады. Міне, бәрінің жиынтығы ${displaystyle b (i)}$ деп аталады негіздер жиынтығы, ал бірнеше авторлар оны «негіз» деп атайды.^[1][2] Жинақ ${displaystyle I}$ оның дәлелдері ${displaystyle i}$ деп аталады өлшем жиынтығы. Барлық аргументтері бар кез келген функция ${displaystyle I}$, алгебра элементтерін мән ретінде қабылдайтын (тіпті базалық жиынтықтан тыс) деп белгіленеді ${displaystyle m}$. Содан кейін, ${displaystyle b}$ болады ${displaystyle m}$.

Сыртқы жағдайы

Бұл шарт жиынтық бойынша негіздерді анықтайды ${displaystyle L}$ туралы ${displaystyle I}$-алгебраның қарапайым функциялары, бұл белгілі бір функциялар ${displaystyle ell}$ бәрін алады ${displaystyle m}$ алгебра элементін мән ретінде алуға аргумент ретінде ${displaystyle ell (m).}$ Шын мәнінде, олар барлық проекциялар ${displaystyle p_ {i}}$ бірге ${displaystyle i}$ жылы ${displaystyle I,}$ функциялары қандай ${displaystyle p_ {i} (m) = m (i)}$ әрқайсысы үшін ${displaystyle m}$және олардан алгебра операцияларымен қайталанатын «бірнеше композициялар» арқылы туындайтын барлық функциялар.

(Алгебра операциясында аргумент ретінде бір алгебра элементі болған кезде, мұндай құрастырылған функцияның мәні операцияның бұрын есептелген жалғыз мәнінен алынады ${displaystyle I}$-ary функциясы құрамы. Егер олай болмаса, мұндай композициялар көпшілікті талап етеді (немесе нөлдік операция үшін жоқ) ${displaystyle I}$-ар функциялары алгебра операциясының алдында бағаланады: сол аргументтегі алгебра элементтерінің әрқайсысы үшін бір. Егер ${displaystyle I}$ және амалдардың аргументтеріндегі элементтердің саны немесе «ақылдылық» шектеулі, бұл ақырғы көп құрам .)

Содан кейін, сәйкес сыртқы жағдайы негіз ${displaystyle b}$ міндетті генерациялау алгебра (дәл сол кезде ${displaystyle ell}$ тұтас ауқымдар ${displaystyle L}$, ${displaystyle ell (b)}$ әрбір алгебра элементін алады) және болуы керек тәуелсіз (атап айтқанда кез-келген кез келген уақытта ${displaystyle I}$-арналды элементар функциялар сәйкес келеді ${displaystyle b}$, олар барлық жерде жасайды: ${displaystyle ell '(b) = ell' '(b)}$ білдіреді ${displaystyle ell '= ell' '}$).^[3] Бұл бар болуын талап етумен бірдей жалғыз функциясы ${displaystyle chi}$ әрбір алгебра элементін ${displaystyle I}$-тариалды элементар функция мәні ретінде және қанағаттандырады ${displaystyle chi ({ell (b)}) = ell}$ барлығына ${displaystyle ell}$ жылы ${displaystyle L}$.

Ішкі күй

Бұл басқа шарт жиынтық бойынша негіздерді анықтайды E туралы эндоморфизмдер болып табылатын алгебраның гомоморфизмдер алгебрадан өзіне, оның көмегімен аналитикалық ұсыну ${displaystyle varrho}$ негізінде. Соңғысы кез-келген эндоморфизмді қабылдайтын функция e функцияны алу үшін аргумент ретінде м мәні ретінде: ${displaystyle varrho (e) = m}$, бұл қайда м мәндерінің «үлгісі» болып табылады e кезінде б, атап айтқанда ${displaystyle m (i) = [varrho (e)] _ {i} = e (b (i))}$ барлығына мен өлшемдер жиынтығында.

Содан кейін, сәйкес ішкі жағдай б қашан негіз болады ${displaystyle varrho}$ Бұл биекция бастап E бәріне арналған м, атап айтқанда әрқайсысы үшін м бір ғана эндоморфизм бар e осындай ${displaystyle m = varrho (e)}$. Бұл бар болуын талап етумен бірдей кеңейту функциясы, атап айтқанда функция ${displaystyle eta}$ бұл әрбір (үлгі) алады м оны эндоморфизмге кеңейтудің дәлелі ретінде ${displaystyle eta (m)}$ осындай ${displaystyle varrho (eta (m)) = m}$.^[4]

Осы екі шарттың арасындағы байланыс сәйкестілік арқылы беріледі ${displaystyle [chi (a)] _ {m} = [eta (m)] _ {a}}$, ол бәріне арналған м және барлық алгебра элементтері а.^[5] Әмбебап алгебралардың негіздерін сипаттайтын бірнеше басқа жағдайлар алынып тасталды.

Келесі мысалда көрсетілгендей, қазіргі негіздер - жалпылау негіздер кеңістіктің кеңістігі. Содан кейін «анықтамалық жүйе» атауы «негізді» жақсы ауыстыра алады. Дегенмен, векторлық кеңістіктегі жағдайдан айырмашылығы, әмбебап алгебрада негіздер болмауы мүмкін, ал егер олар бар болса, олардың өлшемдер жиынтығы әр түрлі шекті оң мәндерге ие болуы мүмкін.^[6]

Мысалдар

Векторлық кеңістік алгебралары

Шекті өлшемді векторлық кеңістікке сәйкес келетін әмбебап алгебрада негіздері болып табылады тапсырыс берген базалар осы векторлық кеңістіктің. Бұл бірнеше егжей-тегжейлерден кейін пайда болады.

Мысалы, векторлық кеңістік ақырлы өлшемді болғанда ${displaystyle I = {0,1, ldots, n-1}}$ бірге ${displaystyle n> 0}$, функциялары ${displaystyle ell}$ жиынтықта L туралы сыртқы жағдайы дәл солар таралу және сызықтық тәуелсіздік қасиеттері сызықтық комбинациялармен ${displaystyle ell (b) = c_ {0} b_ {0} + c_ {1} b_ {1} + ldots c_ {n-1} b_ {n-1}}$ және қазіргі генератор қасиеті кеңейтілген сипатқа айналады. Керісінше, сызықтық тәуелсіздік - қазіргі тәуелсіздіктің қарапайым данасы, ол осындай векторлық кеңістіктерде оған эквивалентті болады. (Сонымен қатар, әмбебап алгебралар үшін сызықтық тәуелсіздік туралы тағы бірнеше жалпылау қазіргі тәуелсіздікті білдірмейді).

Функциялар м үшін ішкі жағдай векторлық кеңістіктің эндоморфизмін құруға қызмет ететін өріс элементтерінің квадрат жиымдарына сәйкес келеді (мысалы, әдеттегі векторлық-кеңістік квадрат матрицалары) сызықтық карталар өздеріне). Содан кейін ішкі жағдай биомалық қасиетті эндоморфизмнен массивке дейін талап етеді. Шын мәнінде, мұндай массивтің әр бағанасы векторды білдіреді ${displaystyle m (i)}$ оның n-жас координаттар негізге қатысты б. Мысалы, векторлар болған кезде n-негізгі өрістегі сандардың қосындылары және б болып табылады Kronecker негізі, м осындай массив бағандармен көрінеді, ${displaystyle varrho}$ анықтамалық векторлардағы осындай сызықтық картаның үлгісі болып табылады ${displaystyle eta}$ төмендегідей осы үлгіні осы картаға таратады.

${displaystyle {} qquad сол жақта ({egin {array} {rrc} 0 & -1 & 2 -2 & 3 & 1 1 & 0 & 2end {array}} ight) quad {egin {array} {c} {stackrel {eta} {longmapsto}} {stackrel {varrho} {longleftarrow !! {} ^ {{} _ {! {} _ {mathsf {l}}}}}} соңы {массив}} төртінші солға {{egin {массив} {rcrccr} x '_ {0 } & = && - x_ {1} & + & 2x_ {2} x '_ {1} & = & - 2x_ {0} & + 3x_ {1} & + & x_ {2} x' _ {2} & = & x_ {0} && + & 2x_ {2} end {array}} ight.}$

Векторлық кеңістік өлшемді болмаса, одан әрі айырмашылықтар қажет. Шын мәнінде, функциялар ${displaystyle ell}$ формальды түрде әр аргументте векторлардың шексіздігі болады, олар бағалайтын сызықтық комбинациялар ешқашан шексіз көптеген қосымшаларды қажет етпейді ${displaystyle c_ {i} m (i)}$ және әрқайсысы ${displaystyle ell}$ ақырғы ішкі жиынды анықтайды Дж туралы ${displaystyle I}$ барлығын қамтиды мен. Содан кейін, әрбір мән ${displaystyle ell (m)}$ тең ${displaystyle ell '(m')}$, қайда ${displaystyle m '}$ шектеу болып табылады м дейін Дж және ${displaystyle ell '}$ болып табылады Дж-ге сәйкес келетін бастапқы элементар функция ${displaystyle ell}$. Қашан ${displaystyle ell '}$ ауыстырыңыз ${displaystyle ell}$, сызықтық тәуелсіздік те, шексіз негіз жиынтығына арналған сипаттамалар да осы уақыттан бастап келеді сыртқы жағдайы және керісінше.

Демек, оң өлшемнің векторлық кеңістігіне келетін болсақ, әмбебап алгебралар үшін қазіргі негіздер мен тапсырыс берген базалар векторлық кеңістіктердің реті жоқ ${displaystyle I}$ талап етіледі. Бұл қандай-да бір мақсатты көздеген жағдайда, оған рұқсат етіледі.

Кеңістік нөлдік өлшемді болған кезде оның реттелген негізі бос болады. Содан кейін бос функция, бұл қазіргі заманғы негіз. Бұл кеңістік тек нөлдік векторды қамтитындықтан, оның жалғыз эндоморфизмі - сәйкестілік, кез-келген функция б кез-келген жиынтықтан ${displaystyle I}$ (тіпті бос емес) осы синглтон кеңістігі қазіргі негіз ретінде жұмыс істейді. Бұл әмбебап алгебра тұрғысынан таңқаларлық емес, мұнда «тривиальды» деп аталатын синглтон алгебралары басқа да біртүрлі болып көрінетін қасиеттерден ләззат алады.

Моноидты сөз

Келіңіздер ${displaystyle I = {{mathsf {a, b, c,}} ldots}}$ «алфавит» болыңыз, дәлірек айтқанда «әріптер» деп аталатын объектілер жиынтығы (әдетте ақырлы). Келіңіздер W сәйкес жиынтығын белгілеңіз сөздер немесе «жіптер», олар ретінде белгіленеді жіптер, атап айтқанда, олардың хаттарын ретімен немесе жазу арқылы ${displaystyle epsilon}$ бос сөз болған жағдайда (ресми тіл белгі).^[7] Тиісінше, қатар қою ${displaystyle vw}$ дегенді білдіреді тізбектеу екі сөзден v және w, яғни басталатын сөз v және одан кейін w.

Біріктіру дегеніміз екілік амал W бұл бос сөзбен бірге ${displaystyle epsilon}$ анықтайды а ақысыз моноид, деген сөздердегі моноид ${displaystyle I}$, бұл қарапайым әмбебап алгебралардың бірі. Содан кейін ішкі жағдай оның негіздерінің бірі функция екенін бірден дәлелдейді б бір әріптен тұратын сөз жасайды ${displaystyle {i}}$ әр әріптен ${displaystyle {mathsf {i}}}$, ${displaystyle b ({mathsf {i}}) = i}$.

(Реттіліктің теориялық орындалуына байланысты, б жеке тұлғаның функциясы болмауы мүмкін, атап айтқанда ${displaystyle i}$ болмауы мүмкін ${displaystyle {mathsf {i}}}$тәрізді объект ${displaystyle {(бос орын, {mathsf {i}})}}$, атап айтқанда, синглтон функциясы немесе жұп ${displaystyle (бос орын, {mathsf {i}})}$ немесе ${displaystyle ({mathsf {i}}, бос орын)}$.^[7])

Шындығында, теориясында D0L жүйелері (Rozemberg & Salomaa 1980) осындай ${displaystyle m = varrho (e)}$ кестелері «өндірістер», мұндай жүйелер әрқайсысының бір мезгілде алмастыруларын анықтау үшін қолданады ${displaystyle i}$ бір сөзбен ${displaystyle w = m ({mathsf {i}})}$ кез келген сөзбен сен жылы W: егер ${displaystyle u = {i} _ {0} {i} _ {1} cdots {i} _ {k}}$, содан кейін ${displaystyle e (u) = m ({mathsf {i}} _ {0}) m ({mathsf {i}} _ {1}) cdots m ({mathsf {i}} _ {k})}$. Содан кейін, б қанағаттандырады ішкі жағдай, функциядан бастап ${displaystyle varrho}$ әр сөзді эндоморфизмді кез-келген осындай кестемен анықтайтын белгілі биекция. (Берілген «тұқым» сөзінен басталатын мұндай эндоморфизмнің бірнеше рет қолданылуы көптеген өсу процестерін модельдеуге қабілетті, мұнда сөздер мен тіркесу сияқты гетерогенді құрылымдар құруға қызмет етеді) L жүйесі, тек «дәйектілік» емес.)

Ескертулер

Әдебиеттер тізімі

1. Гулд, В. Тәуелсіздік алгебралары, Algebra Universalis 33 (1995), 294–318.
2. Grätzer, G. (1968). Әмбебап алгебра, D. Van Nostrand Company Inc ..
3. Grätzer, G. (1979). Әмбебап алгебра 2-ші 2-ші күн, Springer Verlag. ISBN  0-387-90355-0.
4. Ricci, G. (2007). Кеңею өрістерді өлтіреді, Int. Дж. Математика. Ойын теориясы алгебра, 16 5/6, 13-34 бет.
5. Розенберг Г. және Саломаа А. (1980). L жүйелерінің математикалық теориясы, Academic Press, Нью-Йорк. ISBN  0-12-597140-0