Бернулли екінші түрдегі көпмүшелер - Bernoulli polynomials of the second kind - Wikipedia

The Бернулли екінші түрдегі көпмүшелер[1][2] ψn(х), деп те аталады Фонтана-Бессель көпмүшелері,[3] келесі генерациялау функциясымен анықталған көпмүшелер:

Алғашқы бес көпмүшелер:

Кейбір авторлар бұл көпмүшелерді сәл басқаша анықтайды[4][5]

сондай-ақ

және олар үшін басқа белгілерді де қолдануы мүмкін (ең көп қолданылатын балама белгілер - бұл бn(х)).

Бернулли екінші түрдегі көпмүшелерді негізінен венгр математигі Чарльз Джордан зерттеді,[1][2] бірақ олардың тарихы әлдеқайда ертерек шығармалардан бастау алады.[3]

Интегралды ұсыныстар

Бернуллидің екінші түрдегі көпмүшелері осы интегралдар арқылы ұсынылуы мүмкін[1][2]

Сонымен қатар[3]

Бұл көпмүшелер, демек, тұрақтыға дейін антидеривативті туралы биномдық коэффициент және сонымен қатар құлау факториалды.[1][2][3]

Айқын формула

Ерікті үшін n, бұл көпмүшелерді келесі қосынды формуласы арқылы нақты есептеуге болады[1][2][3]

қайда с(n,л) қол қойылған Стирлинг бірінші түрдегі нөмірлер және Gn болып табылады Григорий коэффициенттері.

Қайталану формуласы

Бернулли екінші типтегі көпмүшелер қайталану қатынасын қанағаттандырады[1][2]

немесе баламалы

Қайталанатын айырмашылық тудырады[1][2]

Симметрия қасиеті

Симметрияның негізгі қасиеті оқылады[2][4]

Кейбір қосымша қасиеттер мен ерекше мәндер

Осы көпмүшелердің кейбір қасиеттері мен ерекше мәндеріне кіреді

қайда Cn болып табылады Коши екінші түрдегі сандар және Мn болып табылады орталық айырмашылық коэффициенттері.[1][2][3]

Ньютон сериясына дейін кеңейту

Бернулли екінші түрдегі көпмүшеліктердің Ньютон қатарына кеңеюі оқылады[1][2]

Бернулли екінші түрдегі көпмүшеліктерді қамтитын бірнеше қатарлар

The дигамма функциясы Ψ (х) келесі типтегі Бернулли полиномдарымен қатарға ұлғаюы мүмкін[3]

және демек[3]

және

қайда γ болып табылады Эйлер тұрақтысы. Сонымен қатар, бізде де бар[3]

қайда Γ (х) болып табылады гамма функциясы. The Хурвиц және Riemann zeta функциялары келесі полеминалдарға кеңейтілуі мүмкін[3]

және

және сонымен қатар

Бернулли екінші түрдегі көпмүшелер келесі қатынасқа да қатысады[3]

арасында дзета функциялары, сондай-ақ үшін әр түрлі формулалар Stieltjes тұрақтылары, мысалы.[3]

және

екеуі де жарамды және .

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ а б в г. e f ж сағ мен Джордан, Чарльз (1928), «Sur des polynomes analogues aux polynomes de Bernoulli, et sur des formules de sommation analogues à celle de Maclaurin-Euler» Acta Sci. Математика. (Сегед), 4: 130–150
  2. ^ а б в г. e f ж сағ мен j Джордан, Чарльз (1965). Шекті айырмашылықтардың есебі (3-шығарылым). Челси баспа компаниясы.
  3. ^ а б в г. e f ж сағ мен j к л Благушин, Ярослав В. (2018), «Ser және Hasse-дің дзета-функциялары үшін үш ескерту» (PDF), INTEGERS: Комбинаторлық сан теориясының электронды журналы, 18А (# A3): 1-45 arXiv
  4. ^ а б Роман, С. (1984). Умбральды тас. Нью-Йорк: Academic Press.
  5. ^ Вайсштейн, Эрик В. Бернулли Екінші түрдегі полином. MathWorld сайтынан - Wolfram веб-ресурсы.

Математика