Биполярлық теорема - Bipolar theorem - Wikipedia

Жылы математика, биполярлық теорема Бұл теорема жылы функционалдық талдау биполярлы сипаттайтын (яғни полярлы жиынтықтың полярлық). Жылы дөңес талдау, биполярлық теорема а сілтеме жасайды қажетті және жеткілікті шарттар үшін конус оған тең болу биполярлы. Биполярлық теореманы ерекше жағдай ретінде қарастыруға болады Фенчел-Моро теоремасы.[1]:76–77

Алдын ала дайындық

Айталық X Бұл топологиялық векторлық кеңістік (TVS) а үздіксіз қос кеңістік және рұқсат етіңіз барлығына хX және . The дөңес корпус жиынтықтың A, co (A), ең кішісі дөңес жиынтық құрамында A. The дөңес теңдестірілген корпус жиынтықтың A ең кішісі дөңес теңдестірілген жиынтығы бар A.

The полярлы ішкі жиын A туралы X анықталды:

ал алдын ала ішкі жиын B туралы бұл:

.

The биполярлы ішкі жиын A туралы X, жиі белгіленеді A∘∘ жиынтығы

.

Функционалдық талдаудағы мәлімдеме

Келіңіздер белгілеу әлсіз топология қосулы X (яғни ең әлсіз ТВС топологиясы X барлық сызықтық функционалдарды жасау үздіксіз).

Биполярлық теорема:[2] Ішкі жиынның биполярлы A туралы X тең - жабу дөңес теңдестірілген корпус туралы A.

Дөңес талдаудағы мәлімдеме

Биполярлық теорема:[1]:54[3] Кез келген үшін бос емес конус A кейбірінде сызықтық кеңістік X, биполярлық жиынтық A∘∘ береді:
.

Ерекше жағдай

Ішкі жиын C туралы X бос емес жабық дөңес конус егер және егер болса C++ = C∘∘ = C қашан C++ = (C+)+, қайда A+ жиынтықтың оң қос конусын білдіреді A.[3][4]Немесе жалпы алғанда, егер C бұл бос емес дөңес конус, содан кейін биполярлы конус беріледі

C∘∘ = cl (C).

Қатысты Фенчел-Моро теоремасы

Келіңіздер

болуы индикатор функциясы конус үшін C. Содан кейін дөңес конъюгат,

болып табылады қолдау функциясы үшін C, және . Сондықтан, C = C∘∘ егер және егер болса f = f**.[1]:54[4]

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ а б в Борвейн, Джонатан; Льюис, Адриан (2006). Дөңес талдау және сызықтық емес оңтайландыру: теория мен мысалдар (2 басылым). Спрингер. ISBN  9780387295701.
  2. ^ Narici & Beckenstein 2011, 225-273 беттер.
  3. ^ а б Бойд, Стивен П .; Ванденберг, Ливен (2004). Дөңес оңтайландыру (PDF). Кембридж университетінің баспасы. 51-53 бет. ISBN  9780521833783. Алынған 15 қазан, 2011.
  4. ^ а б Рокафеллар, Р. Тиррелл (1997) [1970]. Дөңес талдау. Принстон, NJ: Принстон университетінің баспасы. 121-125 бет. ISBN  9780691015866.

Библиография