Топологиялық топтардың тікелей қосындысы - Direct sum of topological groups

Жылы математика, а топологиялық топ G деп аталады топологиялық тікелей қосынды^[1] екеуінің кіші топтар H₁ және H₂ егер карта

${ displaystyle { begin {aligned} H_ {1} times H_ {2} & longrightarrow G (h_ {1}, h_ {2}) & longmapsto h_ {1} h_ {2} end { тураланған}}}$

топологиялық изоморфизм болып табылады.

Жалпы, G ақырлы жиынының тікелей қосындысы деп аталады кіші топтар ${ displaystyle H_ {i}, i = 1, ldots, n}$ картаның

${ displaystyle { begin {aligned} prod _ {i = 1} ^ {n} H_ {i} & longrightarrow G (h_ {i}) _ {i in I} & longmapsto h_ {1 } h_ {2} cdots h_ {n} end {aligned}}}$

Егер топологиялық топ болса G топшалар тобының топологиялық тікелей жиынтығы ${ displaystyle H_ {i}}$ онда, атап айтқанда, абстрактілі топ ретінде (топологиясыз) ол да тікелей сома (әдеттегідей) отбасы ${ displaystyle H_ {i}}$.

Топологиялық тікелей шақырулар

Топологиялық топ берілген G, біз кіші топ деп айтамыз H Бұл топологиялық тікелей шақыру туралы G (немесе сол топологиялық тұрғыдан бөлінеді бастап G) егер басқа кіші топ болған жағдайда ғана Қ ≤ G осындай G кіші топтардың тікелей қосындысы болып табылады H және Қ.

А кіші топ H топологиялық тікелей шақыру болып табылады, егер ол болса топологиялық топтардың кеңеюі

${ displaystyle 0 to H { stackrel {i} {{} to {}}} G { stackrel { pi} {{} to {}}} G / H to 0} дейін$

бөлінеді, қайда ${ displaystyle i}$ табиғи кіру болып табылады және ${ displaystyle pi}$ бұл табиғи проекция.

Мысалдар

• Айталық ${ displaystyle G}$ Бұл жергілікті ықшам абель тобы құрамында бірлік шеңбер ${ displaystyle mathbb {T}}$ кіші топ ретінде. Содан кейін ${ displaystyle mathbb {T}}$ топологиялық тікелей жиынтығы болып табылады G. Сол тұжырым үшін де қолданылады нақты сандар ${ displaystyle mathbb {R}}$^[2]

Пайдаланылған әдебиеттер