Эйлерс фракция формуласын жалғастырды - Eulers continued fraction formula - Wikipedia

Ішінде аналитикалық теория туралы жалғасқан фракциялар, Эйлердің жалғасқан бөлшек формуласы белгілі бір жалпылықты байланыстыратын сәйкестік шексіз серия шексіз жалғасқан бөлшек. Алғаш рет 1748 жылы жарияланған, ол алғашқыда ақырғы қосынды шексіз жалғасқан бөлшекпен байланыстыратын қарапайым идентификация ретінде қарастырылды, шексіз жағдайға дейін кеңейту бірден көрінді.[1] Бүгінде ол жалпыға талдамалық шабуылдардың пайдалы құралы ретінде толығымен бағаланады конвергенция проблемасы күрделі элементтері бар шексіз жалғасқан фракциялар үшін.

Бастапқы формула

Эйлер өнімдердің ақырлы қосындысын ақырлы санмен байланыстыратын формула шығарды жалғасқан бөлшек.

Жеке басын оңай анықтайды индукция қосулы n, демек, шекте қолданылады: егер сол жақтағы өрнек а-ны білдіретін етіп кеңейтілген болса конвергентті шексіз қатарлар, оң жақтағы өрнекті конвергентті шексіз етіп кеңейтуге болады жалғасқан бөлшек.

Бұл неғұрлым ықшам жазылған жалпыланған жалғасқан бөлшек нота:

Эйлер формуласы

Егер рмен бұл күрделі сандар және х арқылы анықталады

онда бұл теңдікті индукция арқылы дәлелдеуге болады

.

Мұнда теңдікті n'th мағынасында баламалылық деп түсіну керек конвергентті жалғасқан әрбір бөлшектің жоғарыда көрсетілген қатардың n-ші ішінара қосындысына тең. Егер көрсетілген серия конвергентті болса - немесе біркелкі конвергентті рменБұл кейбір күрделі айнымалылардың функциялары з - онда жалғасқан бөлшектер де жинақталады немесе біркелкі жинақталады.[2]

Индукция арқылы дәлелдеу

Теорема: рұқсат етіңіз натурал сан бол. Үшін күрделі мәндер ,

және үшін күрделі мәндер ,

Дәлелдеу: Біз қос индукцияны орындаймыз. Үшін , Бізде бар

және

Енді екі мәлімдеме де біреуіне сәйкес келеді делік .

Бізде бар қайда

индукциялық гипотезаны қолдану арқылы .

Бірақ білдіреді білдіреді , қайшылық. Демек

сол индукцияны аяқтау.

Үшін екенін ескеріңіз ,

егер , онда екі жағы да нөлге тең.

Қолдану және , және индукциялық гипотезаны мәндерге қолдану ,

басқа индукцияны аяқтау.

Мысал ретінде, өрнек жалғасқан бөлшекке қайта реттелуі мүмкін.

Мұны кез-келген ұзындықтағы кезекке қолдануға болады, сондықтан шексіз жағдайда да қолданылады.

Мысалдар

Көрсеткіштік функция

Көрсеткіштік функция eз болып табылады бүкіл функция күрделі жазықтықтағы барлық шектелген доменге біркелкі жиналатын дәрежелік кеңеюмен.

Эйлердің жалғасқан фракциялық формуласын қолдану қарапайым:

Қолдану эквиваленттік түрлендіру бөлшектерді тазартудан тұратын мысал жеңілдетілген

және бұл жалғасқан бөлшектің күрделі жазықтықтағы әрбір шектелген доменге біркелкі жинақталатындығына сенімді бола аламыз, өйткені ол үшін қуат қатарына тең болады eз.

Табиғи логарифм

The Тейлор сериясы үшін негізгі филиал маңындағы табиғи логарифмнің көрінісі з = 1 белгілі:

Бұл қатар | болған кезде жинақталадыз| <1 және оны өнімнің қосындысы ретінде де көрсетуге болады:[3]

Эйлердің жалғасқан фракциялық формуласын осы өрнекке қолдану мынаны көрсетеді

және барлық фракцияларды тазарту үшін эквиваленттік түрлендіруді қолдану


Бұл жалғасқан бөлшек | кезде жинақталадыз| <1, өйткені ол алынған серияға эквивалентті.[3]

Тригонометриялық функциялар

The Тейлор сериясы туралы синус функция бүкіл кешенді жазықтықта жинақталады және көбейтінділердің қосындысы түрінде көрсетілуі мүмкін.

Содан кейін Эйлердің жалғасқан фракциялық формуласын қолдануға болады

Бөлгіштерді тазарту үшін эквиваленттік түрлендіру қолданылады:

Бірдей дәлел қолданылуы мүмкін косинус функциясы:

Кері тригонометриялық функциялар

The кері тригонометриялық функциялар жалғасқан бөлшектер түрінде ұсынылуы мүмкін.

Эквиваленттік трансформация нәтиже береді

Үшін жалғасқан бөлшек кері тангенс тікелей:

Π үшін жалғасқан бөлшек

Алдыңғы мысалды кері жанамамен байланыстыра отырып, жалғасқан бөлшек бейнесін тұрғызуға болады π. Біз бұған назар аударамыз

Және параметр х = 1 алдыңғы нәтижеде біз бірден аламыз

Гиперболалық функциялар

Арасындағы байланысты еске түсіру гиперболалық функциялар және тригонометриялық функциялар,

Және бұл жоғарыдағы фракциялардан келесі жалғасқан бөлшектер оңай алынады:

Кері гиперболалық функциялар

The кері гиперболалық функциялар гиперболалық функциялардың тригонометриялық функциялармен байланысы сияқты кері тригонометриялық функциялармен байланысты,

Және бұл жалғасатын фракциялар оңай шығарылады:

Сондай-ақ қараңыз

Ескертулер

  1. ^ Леонхард Эйлер (1748), "18", Infinitorum анализіндегі кіріспе, Мен
  2. ^ (Қабырға 1948, б. 17)
  3. ^ а б Бұл қатар | үшін жинақталадыз| <1, бойынша Абылдың сынағы (журналға серияға қолданылады (1 -з)).

Әдебиеттер тізімі

  • H. S. Wall, Жалғасқан бөлшектердің аналитикалық теориясы, D. Van Nostrand Company, Inc., 1948; қайта басылған (1973) «Челси» баспасы ISBN  0-8284-0207-8.