Өріс арифметикасы - Field arithmetic

Жылы математика, өріс арифметикасы а-ның арифметикалық қасиеттері арасындағы өзара байланысты зерттейтін пән өріс және оның абсолютті Галуа тобы.Бұл пәндер пәні, өйткені ол құралдарды қолданады алгебралық сандар теориясы, арифметикалық геометрия, алгебралық геометрия, модель теориясы, теориясы ақырғы топтар және білікті топтар.

Соңғы абсолютті Галуа топтары бар өрістер

Келіңіздер Қ өріс болыңыз және рұқсат етіңіз G = Гал (Қ) оның абсолютті Галуа тобы болуы керек. Егер Қ болып табылады алгебралық жабық, содан кейін G = 1. Егер Қ = R нақты сандар, содан кейін

${displaystyle G = оператор атауы {Gal} (mathbf {C} / mathbf {R}) = mathbf {Z} / 2mathbf {Z}.}$

Мұнда C бұл күрделі сандардың өрісі және З бүтін сандардың сақинасы. A Артин мен Шрайер теоремасы бұл (негізінен) ақырғы абсолютті галуа топтары үшін барлық мүмкіндіктер деп бекітеді.

Артин-Шрейер теоремасы. Келіңіздер Қ абсолютті Галуа тобы болатын өріс G ақырлы. Содан кейін де Қ жабық және G маңызды емес немесе Қ болып табылады нақты жабық және G = З/2З.

Өздерінің абсолютті Галуа топтарымен анықталатын өрістер

Кейбір белгілі топтар изоморфты емес өрістердің абсолютті Галуа тобы ретінде кездеседі. Бұл үшін бірінші мысал

${displaystyle {hat {mathbf {Z}}} = lim _ {longleftarrow} mathbf {Z} / nmathbf {Z}.}$

Бұл топ ерікті абсолютті Галуа тобына изоморфты ақырлы өріс. Сонымен қатар өрістің абсолютті галуа тобы ресми Лоран сериясы C((т)) күрделі сандардың үстінде сол топқа изоморфты.

Тағы бір мысал алу үшін астына абсолютті галуа топтары еркін болатын изоморфты емес екі өрісті келтіреміз (яғни ақысыз топ ).

• Келіңіздер C болуы алгебралық жабық өріс және х айнымалы. Содан кейін Гал (C(х)) -ның кардиналына тең дәреже жоқ C. (Бұл нәтиже байланысты Адриен Дуади 0 сипаттамасына арналған және оның бастауы Риманның болу теоремасы. Ерікті сипаттаманың өрісі үшін ол байланысты Дэвид Харбатер және Флориан попы, және кейінірек дәлелдеді Дэн Харан және Моше Джарден.)
• Абсолютті Галуа тобы Гал (Q) (қайда Q олар рационалды сандар) ықшам, сондықтан нормаланғанмен жабдықталған Хаар өлшемі. Galois автоморфизмі үшін с (бұл Галдегі элемент (Q)) рұқсат етіңіз N_с Галуаның максималды кеңеюі болуы керек Q бұл с түзетулер. Сонда 1 ықтималдықпен абсолютті Галуа тобы Гал (N_с) есептік дәрежеден бос. (Бұл нәтиже байланысты Моше Джарден.)

Жоғарыда келтірілген мысалдардан айырмашылығы, егер қарастырылатын өрістер толығымен құрылса Q, Флориан попы абсолютті галуа топтарының изоморфизмі өрістердің изоморфизмін беретіндігін дәлелдейді:

Теорема. Келіңіздер Қ, L толығымен өрістер болуы керек Q және рұқсат етіңіз а: Гал (Қ) → Гал (L) изоморфизм болуы мүмкін. Сонда алгебралық тұйықталудың ерекше изоморфизмі бар, б: Қ_алг → L_алг, бұл индукциялайды а.

Бұл бұрынғы жұмысты жалпылайды Юрген Нойкирх және Кодзи Учида сан өрістерінде.

Псевдо алгебралық жабық өрістер

A жалған алгебралық жабық өріс (қысқаша PAC) Қ - бұл келесі геометриялық қасиетті қанағаттандыратын өріс. Әрқайсысы мүлдем төмендетілмейтін алгебралық әртүрлілік V анықталды Қ бар Қ-ұтымды нүкте.

PAC өрістерінде өрістің арифметикалық қасиеттері мен оның абсолютті Галуа тобының топтық теоретикалық қасиеттері арасында берік байланыс бар. Осы рухтағы жағымды теорема байланыстырады Гильбертия өрістері бос өрістермен (Қ бар болса, ω-тегін ендіру мәселесі үшін Қ дұрыс шешіледі).

Теорема. Келіңіздер Қ PAC өрісі болыңыз. Содан кейін Қ егер ол болса, онда Гильбертиан болып табылады Қ ω-тегін.

Питер Рокетт осы теореманың оңнан солға бағытын дәлелдеді және қарсы бағытты болжады. Майкл Фрид және Гельмут Вольклейн қолданбалы алгебралық топология және сипаттамалық нөлге тең Рокеттің болжамын анықтау үшін кешенді талдау. Кейіннен Поп ерікті сипаттаманың теоремасын дамыта отырып дәлелдеді »қатаң жамау ".

Пайдаланылған әдебиеттер

• Фрид, Майкл Д .; Джарден, Моше (2004). Өріс арифметикасы. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Бүктеу. 11 (2-ші редакцияланған және кеңейтілген ред.). Шпрингер-Верлаг. ISBN  3-540-22811-X. Zbl  1055.12003.
• Нойкирх, Юрген; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2000), Сан өрістерінің когомологиясы, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 323, Берлин: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-66671-4, МЫРЗА  1737196, Zbl  0948.11001