Нүктелік өніммен индукцияланған беттің ішкі өнімі 3D түрінде
Жылы дифференциалды геометрия, бірінші іргелі форма болып табылады ішкі өнім үстінде жанасу кеңістігі а беті үш өлшемді Евклид кеңістігі ол индукцияланған канондық бастап нүктелік өнім туралы R3. Бұл есептеуге мүмкіндік береді қисықтық және ұзындық пен аудан сияқты беттің метрикалық қасиеттері қоршаған кеңістік. Бірінші іргелі форма рим цифрымен белгіленеді Мен,
![{ displaystyle mathrm {I} (x, y) = langle x, y rangle.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/352daad7884614e6cd9124e2087192d5cfc55a5f)
Келіңіздер X(сен, v) болуы а параметрлік бет. Сонда екеуінің ішкі өнімі жанасу векторлары болып табылады
![{ begin {aligned} & {} quad { mathrm {I}} (aX_ {u} + bX_ {v}, cX_ {u} + dX_ {v}) & = ac langle X_ {u} , X_ {u} rangle + (ad + bc) langle X_ {u}, X_ {v} rangle + bd langle X_ {v}, X_ {v} rangle & = Eac + F (ad + bc) + Gbd, end {aligned}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48b92589e582e02dfafa8ffa6aa576250f1d641d)
қайда E, F, және G болып табылады бірінші іргелі форманың коэффициенттері.
Бірінші іргелі форма а түрінде ұсынылуы мүмкін симметриялық матрица.
![{ displaystyle mathrm {I} (x, y) = x ^ { mathsf {T}} { begin {pmatrix} E&F F&G end {pmatrix}} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da1cfef15af27c6d522d9063f6856bc405823968)
Қосымша нота
Бірінші іргелі форма бір ғана аргументпен жазылған кезде, ол сол вектордың ішкі туындысын өзімен бірге белгілейді.
![{ displaystyle mathrm {I} (v) = langle v, v rangle = | v | ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d59093f26a8b06a2abd1268d26141caeceb13ed5)
Бірінші іргелі форма қазіргі заманғы белгісінде жиі жазылады метрикалық тензор. Содан кейін коэффициенттерді келесі түрінде жазуға болады жиж:
![солға (g _ {{ij}} оңға) = { бастау {pmatrix} g _ {{11}} & g _ {{12}} g _ {{21}} & g _ {{22}} end {pmatrix} } = { begin {pmatrix} E&F F&G end {pmatrix}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71d4809464925be98b9a5cf2dda76d3c3c2693a8)
Бұл тензордың компоненттері жанама векторлардың скаляр көбейтіндісі ретінде есептеледі X1 және X2:
![g _ {{ij}} = X_ {i} cdot X_ {j}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e51ee78215acc30fecc3462d245f351699742c7f)
үшін мен, j = 1, 2. Төмендегі мысалды қараңыз.
Ұзындықтар мен аудандарды есептеу
Бірінші іргелі форма беттің метрикалық қасиеттерін толығымен сипаттайды. Осылайша, бұл беткейдегі қисықтардың ұзындығын және бетіндегі аймақтардың аудандарын есептеуге мүмкіндік береді. The жол элементі ds сияқты бірінші іргелі форманың коэффициенттері арқылы көрсетілуі мүмкін
![{ displaystyle ds ^ {2} = E , du ^ {2} + 2F , du , dv + G , dv ^ {2} ,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6138bd2a1ccdf21a0f624771f72bce764fbeb3ed)
Берілген классикалық аймақ элементі dA = |Xсен × Xv| ду дв көмегімен алғашқы фундаментальды формада көрсетілуі мүмкін Лагранждың жеке басы,
![{ displaystyle dA = | X_ {u} times X_ {v} | du , dv = { sqrt { langle X_ {u}, X_ {u} rangle langle X_ {v}, X_ {v } rangle - left langle X_ {u}, X_ {v} right rangle ^ {2}}} , du , dv = { sqrt {EG-F ^ {2}}} , du , dv.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67ada7145f86d5dc1598d248ddda8ce749c7d62e)
Мысал
Қондырғы сфера жылы R3 параметрленген болуы мүмкін
![X (u, v) = { begin {pmatrix} cos u sin v sin u sin v cos v end {pmatrix}}, (u, v) in [0, 2 pi) есе [0, pi].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73e5b7afd7f2582ed24213d0e356eb14449436bd)
Дифференциалдау X(сен,v) құрметпен сен және v өнімділік
![{ displaystyle { begin {aligned} X_ {u} & = { begin {pmatrix} - sin u sin v cos u sin v 0 end {pmatrix}}, X_ { v} & = { begin {pmatrix} cos u cos v sin u cos v - sin v end {pmatrix}}. end {aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8418076e27b8c0d0ee5126bbe3762c1c76f84676)
Бірінші іргелі форманың коэффициенттерін нүктенің көбейтіндісін алу арқылы табуға болады ішінара туынды.
![{ displaystyle { begin {aligned} E & = X_ {u} cdot X_ {u} = sin ^ {2} v F & = X_ {u} cdot X_ {v} = 0 G & = X_ {v} cdot X_ {v} = 1 end {aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b02a89a4187f3fcb30bbbd9e50da1a20dfc884c5)
сондықтан:
![begin {pmatrix} E & F F & G end {pmatrix} = begin {pmatrix} sin ^ 2 v & 0 0 & 1 end {pmatrix}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2f62e8f2e04c7f04412e033c7ec0f73f61a9243)
Шардағы қисықтың ұзындығы
The экватор сфераның - параметрленген қисық
![(u (t), v (t)) = (t, tfrac { pi} {2})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/828339bfcac2466305ce47830727385865a1ccb9)
бірге т 0-ден 2-ге дейінπ. Бұл қисықтың ұзындығын есептеу үшін сызықтық элемент қолданылуы мүмкін.
![int_0 ^ {2 pi} sqrt {E сол жақ ( frac {du} {dt} оң) ^ 2 + 2F frac {du} {dt} frac {dv} {dt} + G сол жақ ( frac {dv} {dt} right) ^ 2} , dt = int_0 ^ {2 pi} | sin v | , dt = 2 pi sin tfrac { pi} {2} = 2 pi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87192f47c428609315ec7ac281d288e81dcd40dd)
Сферадағы аймақ ауданы
Аймақ элементін сфераның ауданын есептеу үшін пайдалануға болады.
![int _ {0} ^ {{ pi}} int _ {0} ^ {{2 pi}} { sqrt {EG-F ^ {2}}} du , dv = int _ { 0} ^ {{ pi}} int _ {0} ^ {{2 pi}} sin v , du , dv = 2 pi left [- cos v right] _ {0} ^ {{ pi}} = 4 pi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e28136ab5471d71dffcf90e5046ebf12a5316d6)
Гаусстық қисықтық
The Гаусстық қисықтық беттің мәні
![K = { frac { det { mathrm {I ! I}}} { det { mathrm {I}}}} = { frac {LN-M ^ {2}} {EG-F ^ { 2}}},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccc00cecf8689539618c9816af253ed92690a3bc)
қайда L, М, және N коэффициенттері болып табылады екінші іргелі форма.
Эгрегия теоремасы туралы Гаусс беттің Гаусс қисықтығы тек бірінші фундаментальды формасы мен оның туындылары арқылы көрсетілуі мүмкін, сондықтан Қ бұл шын мәнінде беттің ішкі инварианты. Гаусс қисаюының алғашқы фундаментальды формасы бойынша айқын өрнегі Бриошки формуласы.
Сондай-ақ қараңыз
Сыртқы сілтемелер