Гиперболалық тепе-теңдік нүктесі - Hyperbolic equilibrium point

Зерттеуінде динамикалық жүйелер, а гиперболалық тепе-теңдік нүктесі немесе гиперболалық тіркелген нүкте Бұл бекітілген нүкте ол жоқ орталық коллекторлар. А жанында гиперболалық екі өлшемді орбитаны бағыттаңыз, диссипативті емес жүйе гиперболаларға ұқсайды. Бұл жалпы алғанда орындалмайды. Строгатц «гипербола - бұл сәтсіз есім, бұл мағынасын білдіруі керек» деп ескертедіер тоқым '- бірақ бұл стандартты болды. «^[1] Гиперболалық нүктенің маңында бірнеше қасиеттер бар, атап айтқанда^[2]

Екі өлшемді седла нүктесінің маңындағы орбиталар, гиперболалық тепе-теңдіктің мысалы.

• A тұрақты коллектор және тұрақсыз коллектор бар,
• Көлеңке пайда болады,
• Инвариантты жиынтықтағы динамиканы ұсынуға болады символикалық динамика,
• Табиғи өлшемді анықтауға болады,
• Жүйе құрылымдық жағынан тұрақты.

Карталар

Егер ${displaystyle Tcolon mathbb {R} ^ {n} o mathbb {R} ^ {n}}$ Бұл C¹ картасы және б Бұл бекітілген нүкте содан кейін б деп аталады гиперболалық тіркелген нүкте қашан Якоб матрицасы ${displaystyle операторының аты {D} T (p)}$ жоқ меншікті мәндер үстінде бірлік шеңбер.

Бір мысал карта жалғыз нүктесі гиперболалық болып табылады Арнольдтың мысық картасы:

${displaystyle {egin {bmatrix} x_ {n + 1} y_ {n + 1} end {bmatrix}} = {egin {bmatrix} 1 & 1 1 & 2end {bmatrix}} {egin {bmatrix} x_ {n} y_ { n} соңы {bmatrix}}}$

Меншікті мәндер берілгендіктен

${displaystyle lambda _ {1} = {frac {3+ {sqrt {5}}} {2}}}$

${displaystyle lambda _ {2} = {frac {3- {sqrt {5}}} {2}}}$

Ляпуновтың экспоненттері:

${displaystyle lambda _ {1} = {frac {ln (3+ {sqrt {5}})} {2}}> 1}$

${displaystyle lambda _ {2} = {frac {ln (3- {sqrt {5}})} {2}} <1}$

Сондықтан бұл седла.

Ағындар

Келіңіздер ${displaystyle Fcolon mathbb {R} ^ {n} o mathbb {R} ^ {n}}$ болуы а C¹ векторлық өріс сыни нүктемен б, яғни, F(б) = 0 және рұқсат етіңіз Дж белгілеу Якоб матрицасы туралы F кезінде б. Егер матрица Дж онда нөлдік нақты бөліктері жоқ меншікті мәндер жоқ б аталады гиперболалық. Гиперболалық тұрақты нүктелер де шақырылуы мүмкін гиперболалық критикалық нүктелер немесе қарапайым сыни нүктелер.^[3]

The Хартман - Гробман теоремасы динамикалық жүйенің орбита құрылымы а Көршілестік гиперболалық тепе-теңдік нүктесінің топологиялық баламасы орбита құрылымына сызықты динамикалық жүйе.

Мысал

Сызықты емес жүйені қарастырайық

${displaystyle {egin {aligned} {frac {dx} {dt}} & = y, [5pt] {frac {dy} {dt}} & = - xx ^ {3} -alpha y, ~ alfa eq 0end { тураланған}}}$

(0, 0) - жалғыз тепе-теңдік нүктесі. Тепе-теңдіктегі сызықтық теңдеу мынада

${displaystyle J (0,0) = сол жақта [{egin {array} {rr} 0 & 1 -1 & -alpha end {array}} ight].}$

Бұл матрицаның меншікті мәндері ${displaystyle {frac {-alpha pm {sqrt {alpha ^ {2} -4}}} {2}}}$. Барлық мәндері үшін α ≠ 0, меншікті мәндердің нөлдік емес нақты бөлігі болады. Сонымен, бұл тепе-теңдік нүктесі гиперболалық тепе-теңдік нүктесі болып табылады. Сызықтық жүйе (0, 0) маңында сызықтық емес жүйеге ұқсас болады. Қашан α = 0, жүйе (0, 0) кезінде гиперболалық емес тепе-теңдікке ие.

Түсініктемелер

Шексіз өлшемді жүйе жағдайында, мысалы уақытты кешіктіруді қамтитын жүйелер жағдайында «спектрдің гиперболалық бөлігі» ұғымы жоғарыдағы қасиетке жатады.

Сондай-ақ қараңыз

• Аносов ағыны
• Гиперболалық жиынтық
• Әдетте гиперболалық инварианттық коллектор

Ескертулер

Әдебиеттер тізімі

• Евгений М. Ижикевич (ред.) «Тепе-теңдік». Scholarpedia.