Сферадағы инверсия - Inversion in a sphere

Бұл мақалада бірнеше мәселе бар. Өтінемін көмектесіңіз оны жақсарту немесе осы мәселелерді талқылау талқылау беті. (Бұл шаблон хабарламаларын қалай және қашан жою керектігін біліп алыңыз) Бұл мақала оқырмандардың көпшілігінің түсінуіне тым техникалық болуы мүмкін. өтінемін оны жақсартуға көмектесу дейін оны мамандар емес адамдарға түсінікті етіңіз, техникалық мәліметтерді жоймай. (Наурыз 2012) (Бұл шаблон хабарламасын қалай және қашан жою керектігін біліп алыңыз) Бұл мақала үшін қосымша дәйексөздер қажет тексеру. Өтінемін көмектесіңіз осы мақаланы жақсарту арқылы дәйексөздерді сенімді дерек көздеріне қосу. Ресурссыз материалға шағым жасалуы және алынып тасталуы мүмкін. Дереккөздерді табу: «Сферадағы инверсия»  – жаңалықтар  · газеттер  · кітаптар  · ғалым  · JSTOR (Наурыз 2012) (Бұл шаблон хабарламасын қалай және қашан жою керектігін біліп алыңыз) Бұл мақала сияқты жазылады жеке рефлексия, жеке эссе немесе дәлелді эссе Википедия редакторының жеке сезімін баяндайтын немесе тақырып туралы түпнұсқа дәлел келтіретін. өтінемін оны жақсартуға көмектесу оны қайта жазу арқылы энциклопедиялық стиль. (Наурыз 2012) (Бұл шаблон хабарламасын қалай және қашан жою керектігін біліп алыңыз) (Бұл шаблон хабарламасын қалай және қашан жою керектігін біліп алыңыз)

Шар арқылы өтетін цилиндрдің инверсиясы.

Жылы геометрия, сферадағы инверсия Бұл трансформация туралы Евклид кеңістігі бұл түзетулер а нүктелері сфера шардың ішіндегі нүктелерді шардың сыртына жіберу кезінде және керісінше. Интуитивті түрде ол сфераның нүктелерін өзгеріссіз қалдырып, шардың «іші мен сыртын ауыстырады». Инверсия - бұл а конформды трансформация, және негізгі операция болып табылады инверсивті геометрия; бұл жалпылау шеңбер бойынша инверсия.

Анықтама

Сферадағы инверсияны қолдану оңай сипатталады полярлық координаттар. Жүйесін таңдаңыз аффиндік координаттар сфераның центрі -де болатындай етіп шығу тегі және радиусы шардың саны - 1. Әр нүктені түрінде жазуға болады рv, қайда р нүктеден басталуға дейінгі қашықтық және v Бұл бірлік векторы; Сонымен қатар, шығу тегі үшін әр нүкте үшін бұл ерекше болып табылады. Нүктенің осындай бейнеленуін ескере отырып, оның сфералық инверсиядағы бейнесі нүкте ретінде анықталады р⁻¹v. Бұл а анықтайды гомеоморфизм бастап ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n} setminus {0 }}$ өзіне. Евклид кеңістігінен өзіне дейінгі карта ретінде сфералық инверсия картасы бастапқыда анықталмаған, бірақ оны кеңейтуге болады ${ displaystyle { overline { mathbb {R} ^ {n}}}}$, бір нүктелі тығыздау туралы ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$, 0-ді шексіздікке, ал шексіздікті 0-ге жіберу керек деп көрсете отырып, сфералық инверсияны гомеоморфизм ретінде қарастыруға болады. ${ displaystyle { overline { mathbb {R} ^ {n}}}}$.

Қасиеттері

Инверсия - бұл өз-өзіне кері, және шарда жатқан нүктелерді бекітеді. Түзудің кері мәні - а шеңбер анықтама сферасының орталығы арқылы және керісінше. Жазықтыққа кері - бұл эталондық сфераның центрі арқылы өтетін сфера және керісінше. Әйтпесе шеңбердің кері жағы шеңбер болады; сфераға кері - сфера.

Сферадағы инверсия - бұл күшті трансформация. Бір қарапайым мысал карта проекциясы.Солтүстік немесе Оңтүстік полюстің әдеттегі проекциясы (стереографиялық проекция ) - бұл Жерден жазықтыққа инверсия. Егер полюсті орталыққа айналдырудың орнына біз қаланы таңдаған болсақ, онда инверсия карта шығаратын еді, онда сол қаладан ұшуға арналған барлық қысқа жолдар (үлкен шеңберлер) түзу сызықтар болып көрінетін болады, бұл ұшу жолын жеңілдетеді, жолаушылар үшін ең аз.

Дәлелдер

Сілтеме сферасы Σ болсын, центрі О және радиусы r {O, r} деп белгіленсін. Бұл инверсиялар осы сферада орналасқан.

Осы мақаладағы нәтижелер үш қарапайым идеяға байланысты:

1. Ұқсас үшбұрыштар: масштабты модель түпнұсқамен бірдей формада, яғни барлық бұрыштар сақталады.

2. Жартылай шеңбердегі бұрыш - тік бұрыш. яғни жарты шеңбердің кез-келген нүктесі үшін диагональ тік бұрыш жасайды (90^o).

3. Үшбұрыштың бұрыштары 180-ге дейін қосылады^o, сондықтан сыртқы бұрыш қалған екі ішкі бұрыштардың қосындысына тең.

Анықтама

• О-дан n> 0 қашықтықта орналасқан нүкте Р болсын.
• Егер P 'ОП-дағы нүкте болса, OP-мен бірдей бағытта, OP.OP' = r болатындай болады², онда P және P '- кері нүктелер
• Егер n> r болса, онда OP '
• Σ бетіндегі нүктелер тек өзіне-өзі кері нүктелер болып табылады.

Құрылыс

• Дөңгелектегі инверсиядағы сияқты, әдеттегідей, нүкте үшін, P, сферадан тыс, кез-келген жазықтықты OP арқылы өтеді,
  тангенстерді жазықтықта, P-ден Σ-ге дейін, S, T-де кездестіріңіз.
• ST хордасының OP-мен қиылысуы P 'береді. (OPS, OSP 'үшбұрыштары ұқсас).
• Inside ішіндегі Р нүктесі үшін OP арқылы жазықтықты алып, сол жазықтықта шардың аккордын, P-ге О-ға нормаль, S, T-ге жиналысын салыңыз.
• Тангенстерді жазықтықта, Р-ге кері, P '-де кездестіру үшін салыңыз.
• Екі жағдайда да OPT, OTP 'тік бұрышты үшбұрыштары ұқсас, сондықтан OP / OT = OT / OP'

(1-суретті қараңыз)

1-сурет

Жұп нүктенің инверсиясы

• A ', B' инверсиялары бар екі A, B нүктелері берілген; OA'.OA = r², OB'.OB = r².
• Сонымен OA '/ OB' = OB / OA.
• ∠AOB ∠B'OA 'болғандықтан, AOB, B'OA' үшбұрыштары ұқсас.
• Сонымен ∠OAB = ∠OB'A ', ∠OBA = ∠OA'B'.

(2-суретті қараңыз)

2-сурет

Сызыққа кері

• Егер түзу Σ қиылысатын болса, онда қиылыстың екі нүктесі ғана өз-өзіне кері болады.
• Егер O түзудің бойында жатса, онда түзу өз-өзіне кері болады;

• Басқа,

• P - O-ден түзуге перпендикулярдың табаны, кері P ', ал X - түзудің кез-келген нүктесі, кері X',
• 'Жұп нүктесінің инверсиясы' бойынша, ∠OX'P '= ∠OPX = 90^o.
• Сонымен, X 'O арқылы шеңбер бойымен жатыр, диаметрі ОП болса. (Жартылай шеңбердегі бұрыш - тік бұрыш)

(3-суретті қараңыз)

3-сурет

4-ескерту: Әдетте, түзудің кері бағыты анықтама орталығы арқылы өтетін шеңбер болып табылады.

Жазықтыққа кері

• Егер жазықтық Σ қиылысатын болса, онда қиылысу шеңберінің әрбір нүктесі өз-өзіне кері болады.
• Егер O жазықтықта жатса, онда кері жазықтық болады;
• Басқа:

• Перпендикулярдың О-дан жазықтыққа дейінгі табаны кері Р '-мен P болсын.
• Х жазықтықтағы кері X 'кез келген нүкте болсын.
• 'Жұп нүктесінің инверсиясы' бойынша, ∠OX'P '= ∠OPX = 90^o.
• X 'диаметрі OP' шарда жатыр. (Жарты шеңбердегі бұрышы тікбұрыш)

5-ескерту: Әдетте жазықтыққа кері санақ орталығы арқылы шар болады.

Сфераға кері

• Шар {A, a}, яғни А центрі және радиусы a> 0 болсын.
• Егер {A, a} сферасы ects қиылысатын болса, онда тек өз-өзіне кері нүктелер қиылысу шеңберінде болады.
• Егер А О-да болса, онда {A, a} сфераның кері мәні радиусы r болатын концентрлі сфера болады²/ а;

(Тривиальды түрде, егер a = r болса, онда {A, a} нүктесінің әрқайсысы өз-өзіне кері болады.)

• Басқа

• егер O {A, a} сферасында жатса,
• Сонда P шарға {A, a}, диаметрі O-ға қарама-қарсы нүкте болсын, P 'Р-ге кері.
• Х '{A, a} сферасындағы кез-келген нүкте болсын, X' кері болады.
• Сонда 'жұп нүктесінің инверсиясы' ∠OP'X '= ∠OXP = 90^o (жарты шеңбердегі бұрыш).
• Бұл {A, a} сферасындағы барлық нүктелерге қатысты.
• Сонымен X 'P' қалыптыдан OP-ге дейінгі жазықтықта жатыр.

• Басқа,

• S, T OA мен сфераның {A, a}, олардың S ', T' керісінше қиылыстары болсын.
• ST - диаметрі {A, a}.
• X 'кері X' бар {A, a} сфераның кез келген нүктесі болсын.
• ∠OXT = ∠OT'X ', және ∠OXS = ∠OS'X'. (жұп нүктеге кері)

• Егер T, S О-ның бір жағында жатса.

• ∠T'X'S '= ∠OX'S' - ∠OX'T '
• = ∠OSX - ∠OTX (жұп нүктенің инверсиясы).
• = ∠TXS (сыртқы бұрыш ішкі бұрыштардың қосындысына тең)
• = 90^o (жарты шеңбердегі бұрыш - тік бұрыш)
• Сонымен X 'диаметрі T'S' болатын жарты шеңберде жатыр.
• Бұл {A, a} сферасындағы әр нүктеге қатысты.
• Сонымен X 'диаметрі T'S' болатын сферада жатыр.

(4-суретті қараңыз)

Сурет 4

• Егер T, S О-ның екі жағында жатса:

• XOXT + ∠OXS = 90^o (жартылай шеңбердегі бұрыш - тікбұрыш).
• ∠T'X'S '= ∠OX'T' + ∠OX'S '
• = ∠OTX + ∠OSX (жұп нүктеге кері).
• = 180^o - ∠TXS (үшбұрыштағы бұрыштар 180-ге тең^o)
• Сонымен ∠T'X'S '= 90^o, және X 'жартылай шеңберде жатыр, оның диаметрі T'S' (жарты шеңбердегі бұрышы тікбұрыш).
• Алдындағыдай:
• Бұл {A, a} сферасындағы әр нүктеге қатысты.
• Сонымен X 'диаметрі T'S' болатын сферада жатыр.

(5-суретті қараңыз)

Сурет 5

Ескерту 6: Әдетте сфераға кері сфера болып табылады
(Жалғыз ерекшелік - бұл тірек сфераның орталығы сферада жатқанда.)

Шеңберге кері

• Центрі C ​​және радиусы а, жазықтықта c жатқан шеңбер с-ге тең болсын.
• Егер с сфераны қиып өтсе, онда тек өзіне-өзі кері нүктелер осы екі қиылысу болады.
• S, T сандардың ең жақын және ең алыс нүктелері болсын, О-дан, (яғни OT> OS), олардың кері 'T', S ',
• Егер C О-да болса, онда с-нің кері шамасы радиусы r болатын концентрлі шеңбер болады²/ а;

• Басқа

• егер O с-ге жатса,
• Онда OP с-нің диаметрі болсын, P 'Р-ға кері болады.
• Х шеңбердің кез-келген нүктесі болсын, кері X '.
• 'Жұп нүктесінің инверсиясы' бойынша, ∠OP'X '= ∠OXP = 90^o.
• Шеңбердің кері нүктелері С 'жазықтығында, ОП-қа қалыпты түзуде жатыр;

• Басқа

• Егер О с жазықтығында жатса, онда с, O, S, T арқылы өтетін жазықтықта орналасқан {C, a} сфераның үлкен шеңбері болады, сондықтан сфераға кері әсер еткен аргументтер с шеңберіне де қолданылады. , 6-бөлімнің барлық нәтижелерімен ұқсас.

(Cf 3, 4, 5 суреттер)

• Басқа,

• жалпы жағдайда, егер О ψ -те болмаса, с жазықтығы;
• A, B through -ге перпендикуляр, С арқылы өтетін түзудің екі нүктесі болсын.
• Λ, Ω сандар арқылы екі сфера болсын, центрлері А, В, О арқылы емес.
• Λ ', Ω' сфералары Λ, Ω кері мәндері болсын (6 ескертуді қараңыз).
• С-нің кері нүктесінің кез-келген нүктесі Λ 'және Ω' нүктелерінде жатыр.
• Λ ', Ω' сфераларының қиылысы с 'шеңбері, айталық с-ға кері.

• Егер АВ түзуінде О лис болса, проекция конусы дөңгелек,

және егер с sphere сферада жатса, онда с-ның әрбір нүктесі өз-өзіне кері болады;

Ескерту 7: Әдетте шеңберге кері шеңбер болады.

(Жалғыз ерекшелік - бұл тірек сфераның орталығы шеңберде жатқанда.

Сферадағы инверсияның нәтижелері

1. Инверсия центрі арқылы өтетін сызық өзіне-өзі кері болады.
2. Әдетте, түзудің кері мәні - бұл инверсия центрі арқылы өтетін шеңбер.
3. Инверсия центрі арқылы шеңбердің кері сызығы түзу болып табылады.
4. Әдетте шеңберге кері шеңбер болады.
5. Инверсия центрі арқылы өтетін жазықтық өз-өзіне кері.
6. Әдетте, жазықтыққа кері - бұл инверсия центрі арқылы өтетін сфера.
7. Инверсия центрі арқылы шарға кері жазықтық болады.
8. Әдетте сфераға кері сфера болып табылады.

Сондай-ақ қараңыз

• Инверсивті геометрия
• Кері қисық
• Қисықтар мен беттердің инверсиясы (неміс)

Әдебиеттер тізімі