Жылы математика , Кодайра - Спенсер картасы , енгізген Кунихико Кодайра және Дональд Спенсер , Бұл карта байланысты деформация а схема немесе күрделі көпжақты X , қабылдау жанасу кеңістігі нүктесінің деформация кеңістігі біріншісіне когомологиялық топ туралы шоқ туралы векторлық өрістер қосулыX .
Анықтама Тарихи мотивация Kodaira-Spencer картасы бастапқыда күрделі коллекторлық жағдайда салынған. Күрделі аналитикалық коллектор берілген М { displaystyle M} U мен { displaystyle U_ {i}} f j к { displaystyle f_ {jk}} з к → з j = ( з j 1 , … , з j n ) { displaystyle z_ {k} to z_ {j} = (z_ {j} ^ {1}, ldots, z_ {j} ^ {n})} f j к ( з к ) { displaystyle f_ {jk} (z_ {k})} f j к ( з к , т 1 , … , т к ) { displaystyle f_ {jk} (z_ {k}, t_ {1}, ldots, t_ {k})} B { displaystyle B} т 1 , … , т к { displaystyle t_ {1}, ldots, t_ {k}} f j к ( з к , 0 , … , 0 ) = f j к ( з к ) { displaystyle f_ {jk} (z_ {k}, 0, ldots, 0) = f_ {jk} (z_ {k})} т мен { displaystyle t_ {i}} М { displaystyle M} М { displaystyle M} H 1 ( М , Т М ) { displaystyle H ^ {1} (M, T_ {M})} [1]
Бастапқы анықтама Ресми түрде Кодайра - Спенсер картасы болып табылады[2]
Қ S : Т 0 B → H 1 ( М , Т М ) { displaystyle KS: T_ {0} B to H ^ {1} (M, T_ {M})} қайда
М → B { displaystyle { mathcal {M}} - B} күрделі кеңістіктер [3] арнайы талшық М = М 0 { displaystyle M = { mathcal {M}} _ {0}} δ { displaystyle delta} Т М | М → Т 0 B ⊗ O М { displaystyle T { mathcal {M}} | _ {M} to T_ {0} B otimes { mathcal {O}} _ {M}} Т М { displaystyle T_ {M}} Егер v { displaystyle v} Т 0 B { displaystyle T_ {0} B} Қ S ( v ) { displaystyle KS (v)} Кодаира - Спенсер сыныбы туралы v { displaystyle v}
Деформация теориясы басқа контексттерге кеңейтілгендіктен, мысалы, схема теориясындағы деформациялар немесе сақиналы топои, бұл мәнмәтіндерге арналған Кодара-Спенсер картасының құрылымдары бар.
Схема теориясында негізгі өріс к { displaystyle k} 0 { displaystyle 0} X → S = Spec ( к [ т ] / т 2 ) { displaystyle { mathcal {X}} to S = operatorname {Spec} (k [t] / t ^ {2})} H 1 ( X , Т X ) { displaystyle H ^ {1} (X, TX)}
Құрылыстар Шексіз өлшемдерді қолдану Деформацияларға арналған циклдық жағдай Артық 0 { displaystyle 0} [4] X { displaystyle X} U = { U α } α ∈ Мен { displaystyle { mathcal {U}} = {U _ { alpha} } _ { alpha in I}} з α = ( з α 1 , … , з α n ) { displaystyle z _ { alpha} = (z _ { alpha} ^ {1}, ldots, z _ { alpha} ^ {n})}
f β α : U β | U α β → U α | U α β { displaystyle f _ { beta alpha}: U _ { beta} | _ {U _ { alpha beta}} to U _ { alpha} | _ {U _ { alpha beta}}} f α β ( з β ) = з α { displaystyle f _ { alpha beta} (z _ { beta}) = z _ { alpha}}
Еске салайық, деформация коммутативті сызба арқылы беріледі
X → X ↓ ↓ Spec ( C ) → Spec ( C [ ε ] ) { displaystyle { begin {matrix} X & to & { mathfrak {X}} downarrow && downarrow { text {Spec}} ( mathbb {C}) & to & { text {Spec}} ( mathbb {C} [ varepsilon]) end {matrix}}}
қайда C [ ε ] { displaystyle mathbb {C} [ varepsilon]} қос сандардың сақинасы және тік карталар тегіс, деформация кокос ретінде когомологиялық интерпретацияға ие f ~ α β ( з β , ε ) { displaystyle { tilde {f}} _ { alpha beta} (z _ { beta}, varepsilon)} U α × Spec ( C [ ε ] ) { displaystyle U _ { alpha} times { text {Spec}} ( mathbb {C} [ varepsilon])}
з α = f ~ α β ( з β , ε ) = f α β ( з β ) + ε б α β ( з β ) { displaystyle z _ { alpha} = { tilde {f}} _ { alpha beta} (z _ { beta}, varepsilon) = f _ { alpha beta} (z _ { beta}) + varepsilon b _ { alpha beta} (z _ { beta})}
Егер f ~ α β { displaystyle { tilde {f}} _ { alpha beta}} X { displaystyle { mathfrak {X}}}
f ~ α γ ( з γ , ε ) = f ~ α β ( f ~ β γ ( з γ , ε ) , ε ) = f α β ( f β γ ( з γ ) + ε б β γ ( з γ ) ) + ε б α β ( f β γ ( з γ ) + ε б β γ ( з γ ) ) { displaystyle { begin {aligned} { tilde {f}} _ { alpha gamma} (z _ { gamma}, varepsilon) = & { tilde {f}} _ { alpha beta} ( { tilde {f}} _ { бета гамма} (z _ { gamma}, varepsilon), varepsilon) = & f _ { alpha beta} (f _ { beta gamma} (z _ { гамма}) + varepsilon b _ { beta gamma} (z _ { gamma})) & + varepsilon b _ { alpha beta} (f _ { beta gamma} (z _ { gamma}) + varepsilon b _ { beta gamma} (z _ { gamma})) end {aligned}}}
Қос сандардың қасиеттерін пайдалану, атап айтқанда ж ( а + б ε ) = ж ( а ) + ε ж ′ ( а ) б { displaystyle g (a + b varepsilon) = g (a) + varepsilon g '(a) b}
f α β ( f β γ ( з γ ) + ε б β γ ( з γ ) ) = f α β ( f β γ ( з γ ) ) + ε ∂ f α β ∂ з α ( з α ) б β γ ( з γ ) { displaystyle { begin {aligned} f _ { alpha beta} (f _ { beta gamma} (z _ { gamma}) + varepsilon b _ { beta gamma} (z _ { gamma})) = & f _ { альфа бета} (f _ { бета гамма} (z _ { гамма})) + varepsilon { frac { жарым-жартылай f _ { альфа бета}} { жартылай z _ { альфа}}} (z _ { alpha}) b _ { beta _ { gamma}} (z _ { gamma}) end {aligned}}}
және
ε б α β ( f β γ ( з γ ) + ε б β γ ( з γ ) ) = ε б α β ( f β γ ( з γ ) ) + ε 2 ∂ б α β ∂ з α ( з α ) б β γ ( з γ ) = ε б α β ( f β γ ( з γ ) ) = ε б α β ( з β ) { displaystyle { begin {aligned} varepsilon b _ { alpha beta} (f _ { beta gamma} (z _ { gamma}) + varepsilon b _ { beta gamma} (z _ { gamma}) ) = & varepsilon b _ { альфа бета} (f _ { бета гамма} (z _ { гамма})) + varepsilon ^ {2} { frac { partional b _ { alpha beta}} { ішінара z _ { альфа}}} (z _ { альфа}) b _ { бета _ { гамма}} (z _ { гамма}) = & varepsilon b _ { альфа бета} (f _ { бета гамма} (z _ { gamma})) = & varepsilon b _ { alpha beta} (z _ { beta}) end {aligned}}}
демек, цикл айналымы қосулы U α × Spec ( C [ ε ] ) { displaystyle U _ { alpha} times { text {Spec}} ( mathbb {C} [ varepsilon])}
б α γ = ∂ f α β ∂ з β б β γ + б α β { displaystyle b _ { alpha gamma} = { frac { ішінара f _ { альфа бета}} { жартылай z _ { бета}}} b _ { бета гамма} + b _ { альфа бета} } f α γ = f α β ∘ f β γ { displaystyle f _ { alpha gamma} = f _ { alpha beta} circ f _ { beta gamma}} Векторлық өрістердің циклдеріне айналу Деформацияның циклін векторлық өрістердің циклына оңай айналдыруға болады θ = { θ α β } ∈ C 1 ( U , Т X ) { displaystyle theta = { theta _ { alpha beta} } in C ^ {1} ({ mathcal {U}}, T_ {X})} f ~ α β = f α β + ε б α β { displaystyle { tilde {f}} _ { alpha beta} = f _ { alpha beta} + varepsilon b _ { alpha beta}}
θ α β = ∑ мен = 1 n б α β мен ∂ ∂ з α мен { displaystyle theta _ { alpha beta} = sum _ {i = 1} ^ {n} b _ { alpha beta} ^ {i} { frac { жарым-жартылай} { жартылай z _ { альфа } ^ {i}}}}
бұл 1-пакет. Содан кейін көшу карталарының ережесі б α γ { displaystyle b _ { alpha gamma}} [ θ ] ∈ H 1 ( X , Т X ) { displaystyle [ theta] in H ^ {1} (X, T_ {X})}
Векторлық өрістерді қолдану Бұл картаның бастапқы конструкцияларының бірі дифференциалды геометрия және кешенді талдау параметрлерінде векторлық өрістер қолданылған.[1] т { displaystyle t}
f мен к α ( з к , т ) = f мен j α ( f к j 1 ( з к , т ) , … , f к j n ( з к , т ) , т ) { displaystyle f_ {ik} ^ { альфа} (z_ {k}, t) = f_ {ij} ^ { alpha} (f_ {kj} ^ {1} (z_ {k}, t), ldots , f_ {kj} ^ {n} (z_ {k}, t), t)}
Содан кейін, туындысы f мен к α ( з к , т ) { displaystyle f_ {ik} ^ { alpha} (z_ {k}, t)} т { displaystyle t}
∂ f мен к α ( з к , т ) ∂ т = ∂ f мен j α ( з j , т ) ∂ т + ∑ β = 0 n ∂ f мен j α ( з j , т ) ∂ f j к β ( з к , т ) ⋅ ∂ f j к β ( з к , т ) ∂ т { displaystyle { begin {aligned} { frac { ішінара f_ {ik} ^ { alpha} (z_ {k}, t)} {{ішінара t}} & = { frac { жартылай f_ {ij } ^ { альфа} (z_ {j}, t)} { бөлшек t}} + қосынды _ { бета = 0} ^ {n} { frac { ішінара f_ {ij} ^ { альфа} (z_ {j}, t)} { ішінара f_ {jk} ^ { бета} (z_ {k}, t)}}} cdot { frac { жартылай f_ {jk} ^ { бета} (z_ {k}, t)} { ішінара t}} соңы {тураланған}}}
Ескерту, өйткені з j β = f j к β ( з к , т ) { displaystyle z_ {j} ^ { beta} = f_ {jk} ^ { beta} (z_ {k}, t)} з мен α = f мен j α ( з j , т ) { displaystyle z_ {i} ^ { alpha} = f_ {ij} ^ { alpha} (z_ {j}, t)}
∂ f мен к α ( з к , т ) ∂ т = ∂ f мен j α ( з j , т ) ∂ т + ∑ β = 0 n ∂ з мен α ∂ з j β ⋅ ∂ f j к β ( з к , т ) ∂ т { displaystyle { begin {aligned} { frac { ішінара f_ {ik} ^ { alpha} (z_ {k}, t)} {{ішінара t}} & = { frac { жартылай f_ {ij } ^ { альфа} (z_ {j}, t)} { бөлшек t}} + қосынды _ { бета = 0} ^ {n} { frac { бөлшек z_ {i} ^ { альфа} } { ішіндегі z_ {j} ^ { бета}}} cdot { frac { ішінара f_ {jk} ^ { бета} (z_ {k}, t)} { ішінара t}} соңы {тураланған}}}
Егер біз осы ішінара туындыларды коэффициент ретінде ескере отырып, голоморфты векторлық өрісті жазуды қолдансақ, онда
∂ ∂ з j β = ∑ α = 1 n ∂ з мен α ∂ з j β ⋅ ∂ ∂ з мен α { displaystyle { frac { жарым-жартылай} { жартылай z_ {j} ^ { бета}}} = қосынды _ { альфа = 1} ^ {n} { frac { жартылай z_ {i} ^ { альфа}} { жартылай z_ {j} ^ { бета}}} cdot { frac { жарым} { жартылай z_ {i} ^ { альфа}}}}
біз векторлық өрістердің келесі теңдеуін аламыз
∑ α = 0 n ∂ f мен к α ( з к , т ) ∂ т ∂ ∂ з мен α = ∑ α = 0 n ∂ f мен j α ( з j , т ) ∂ т ∂ ∂ з мен α + ∑ β = 0 n ∂ f j к β ( з к , т ) ∂ т ∂ ∂ з j β { displaystyle { begin {aligned} sum _ { alpha = 0} ^ {n} { frac { ішінара f_ {ik} ^ { alpha} (z_ {k}, t)} {{ішінара t }} { frac { жарым-жартылай} { жартылай z_ {i} ^ { альфа}}} = & қосынды _ { альфа = 0} ^ {n} { frac { жартылай f_ {ij} ^ { alpha} (z_ {j}, t)} { ішінара t}} { frac { жартылай} { жартылай z_ {i} ^ { альфа}}} & + sum _ { beta = 0} ^ {n} { frac { ішінара f_ {jk} ^ { бета} (z_ {k}, t)} { жартылай t}} { frac { жартылай} { жартылай z_ {j} ^ { бета}}} соңы {тураланған}}}
Мұны векторлық өрістер ретінде қайта жазу
θ мен к ( т ) = θ мен j ( т ) + θ j к ( т ) { displaystyle theta _ {ik} (t) = theta _ {ij} (t) + theta _ {jk} (t)}
қайда
θ мен j ( т ) = ∂ f мен j α ( з j , т ) ∂ т ∂ ∂ з мен α { displaystyle theta _ {ij} (t) = { frac { ішінара f_ {ij} ^ { альфа} (z_ {j}, t)} {{жартылай t}} { frac { жартылай} { ішінара z_ {i} ^ { альфа}}}}
цикл жағдайын береді. Демек, бұл сыныпты байланыстырды H 1 ( М , Т М ) { displaystyle H ^ {1} (M, T_ {M})}
Схема теориясында Тегіс әртүрліліктің деформациясы[5]
X → X ↓ ↓ Spec ( к ) → Spec ( к [ ε ] ) { displaystyle { begin {matrix} X & to & { mathfrak {X}} downarrow && downarrow { text {Spec}} (k) & to & { text {Spec}} (k [ varepsilon]) end {matrix}}}
кохомологиялық тұрғыдан құрылған Kodaira-Spencer класына ие болыңыз. Бұл деформациямен байланысты қысқа дәл дәйектілік
0 → π ∗ Ω Spec ( к [ ε ] ) 1 → Ω X 1 → Ω X / S 1 → 0 { displaystyle 0 to pi ^ {*} Omega _ {{ text {Spec}} (k [ varepsilon])} ^ {1} to Omega _ { mathfrak {X}} ^ {1 } to Omega _ {{ mathfrak {X}} / S} ^ {1} - 0}
(қайда π : X → Spec ( к [ ε ] ) { displaystyle pi: { mathfrak {X}} to { text {Spec}} (k [ varepsilon])} O X { displaystyle { mathcal {O}} _ { mathfrak {X}}} O X { displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}
0 → O X → Ω X 1 ⊗ O X → Ω X 1 → 0 { displaystyle 0 to { mathcal {O}} _ {X} to Omega _ { mathfrak {X}} ^ {1} otimes { mathcal {O}} _ {X} to Omega _ {X} ^ {1} - 0}
Қолдану алынған категориялар , бұл элементті анықтайды
R Хом ( Ω X 1 , O X [ + 1 ] ) ≅ R Хом ( O X , Т X [ + 1 ] ) ≅ Қосымша 1 ( O X , Т X ) ≅ H 1 ( X , Т X ) { displaystyle { begin {aligned} mathbf {R} { text {Hom}} ( Omega _ {X} ^ {1}, { mathcal {O}} _ {X} [+ 1]) & cong mathbf {R} { text {Hom}} ({ mathcal {O}} _ {X}, T_ {X} [+ 1]) & cong { text {Ext}} ^ { 1} ({ mathcal {O}} _ {X}, T_ {X}) & cong H ^ {1} (X, T_ {X}) end {aligned}}}
Kodaira - Spencer картасын жалпылау. Мұны кез-келген тегіс картаға жалпылауға болатындығын ескеріңіз f : X → Y { displaystyle f: X to Y} Ш. / S { displaystyle { text {Sch}} / S} H 1 ( X , Т X / Y ⊗ f ∗ ( Ω Y / З 1 ) ) { displaystyle H ^ {1} (X, T_ {X / Y} otimes f ^ {*} ( Omega _ {Y / Z} ^ {1}))}
Сақиналы топои Кодайра-Спенсер карталарының ең абстрактілі құрылымдарының бірі келесіден тұрады котангенс кешендері карталарының құрамымен байланысты сақиналы топои
X → f Y → З { displaystyle X xrightarrow {f} Y to Z}
Содан кейін, осы құраммен байланысты а ерекшеленетін үшбұрыш
f ∗ L Y / З → L X / З → L X / Y → [ + 1 ] { displaystyle f ^ {*} mathbf {L} _ {Y / Z} to mathbf {L} _ {X / Z} to mathbf {L} _ {X / Y} xrightarrow {[+ 1]}}
және бұл шекара картасы Kodaira - Spencer картасын құрайды[6] Қ ( X / Y / З ) { displaystyle K (X / Y / Z)} H 1 ( X , Т X / Y ⊗ f ∗ ( Ω Y / З 1 ) ) { displaystyle H ^ {1} (X, T_ {X / Y} otimes f ^ {*} ( Omega _ {Y / Z} ^ {1}))}
Мысалдар Аналитикалық микробтармен Kodaira-Spencer картасы аналитикалық микробтарды қарастыру кезінде тангенс когомологиясын қолдану арқылы оңай есептеледі. деформация теориясы және оның қарсы деформациясы.[7] f ( з 1 , … , з n ) ∈ C { з 1 , … , з n } = H { displaystyle f (z_ {1}, ldots, z_ {n}) in mathbb {C} {z_ {1}, ldots, z_ {n} } = H}
Т 1 = H г. f ⋅ H n { displaystyle T ^ {1} = { frac {H} {df cdot H ^ {n}}}}
Мысалы, егер f = ж 2 − х 3 { displaystyle f = y ^ {2} -x ^ {3}}
Т 1 = C { х , ж } ( ж , х 2 ) { displaystyle T ^ {1} = { frac { mathbb {C} {x, y }} {(y, x ^ {2})}}}
осыдан ерікті деформация шығады F ( х , ж , а 1 , а 2 ) = ж 2 − х 3 + а 1 + а 2 х { displaystyle F (x, y, a_ {1}, a_ {2}) = y ^ {2} -x ^ {3} + a_ {1} + a_ {2} x} v ∈ Т 0 ( C 2 ) { displaystyle v in T_ {0} ( mathbb {C} ^ {2})}
∂ ∂ а 1 , ∂ ∂ а 2 { displaystyle { frac { жарымжан} { жартылай а_ {1}}}, { frac { жартылай} { жартылай а_ {2}}}}
карта бар Қ S : v ↦ v ( F ) { displaystyle KS: v mapsto v (F)}
ϕ 1 ∂ ∂ а 1 + ϕ 2 ∂ ∂ а 2 ↦ ϕ 1 ∂ F ∂ а 1 + ϕ 2 ∂ F ∂ а 2 = ϕ 1 + ϕ 2 ⋅ х { displaystyle { begin {aligned} phi _ {1} { frac { жарымжан} { жартылай а_ {1}}} + phi _ {2} { frac { жартылай} { жартылай а_ { 2}}} mapsto & phi _ {1} { frac { ішінара F} { жартылай а_ {1}}} + phi _ {2} { frac { жартылай F} { жартылай а_ { 2}}} & = phi _ {1} + phi _ {2} cdot x end {aligned}}}
Котангенс кешені бар аффинді гипер беткейлерде Аффинді гипер беткей үшін мен : X 0 ↪ A n → Spec ( к ) { displaystyle i: X_ {0} hookrightarrow mathbb {A} ^ {n} to { text {Spec}} (k)} к { displaystyle k} f { displaystyle f}
мен ∗ L A n / Spec ( к ) → L X 0 / Spec ( к ) → L X 0 / A n → [ + 1 ] { displaystyle i ^ {*} mathbf {L} _ { mathbb {A} ^ {n} / { text {Spec}} (k)} to mathbf {L} _ {X_ {0} / { text {Spec}} (k)} to mathbf {L} _ {X_ {0} / mathbb {A} ^ {n}} xrightarrow {[+1]}}
Содан кейін, өтініш R H o м ( − , O X 0 ) { displaystyle mathbf {RHom} (-, { mathcal {O}} _ {X_ {0}})}
RHom ( мен ∗ L A n / Spec ( к ) , O X 0 [ + 1 ] ) ← RHom ( L X 0 / Spec ( к ) , O X 0 [ + 1 ] ) ← RHom ( L X 0 / A n , O X 0 [ + 1 ] ) ← RHom ( мен ∗ L A n / Spec ( к ) , O X 0 ) ← RHom ( L X 0 / Spec ( к ) , O X 0 ) ← RHom ( L X 0 / A n , O X 0 ) { displaystyle { begin {aligned} & { textbf {RHom}} (i ^ {*} mathbf {L} _ { mathbb {A} ^ {n} / { text {Spec}} (k) }, { mathcal {O}} _ {X_ {0}} [+ 1]) leftarrow { textbf {RHom}} ( mathbf {L} _ {X_ {0} / { text {Spec}} (k)}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}} [+ 1]) leftarrow { textbf {RHom}} ( mathbf {L} _ {X_ {0} / mathbb {A } ^ {n}}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}} [+ 1]) leftarrow & { textbf {RHom}} (i ^ {*} mathbf {L} _ { mathbb {A} ^ {n} / { text {Spec}} (k)}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}}) leftarrow { textbf {RHom}} ( mathbf {L} _ {X_ {0} / { text {Spec}} (k)}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}}) leftarrow { textbf {RHom}} ( mathbf { L} _ {X_ {0} / mathbb {A} ^ {n}}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}}) end {aligned}}}
Есоморфизм бар екенін еске түсіріңіз
RHom ( L X 0 / Spec ( к ) , O X 0 [ + 1 ] ) ≅ Қосымша 1 ( L X 0 / Spec ( к ) , O X 0 ) { displaystyle { textbf {RHom}} ( mathbf {L} _ {X_ {0} / { text {Spec}} (k)}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}} [ +1]) cong { text {Ext}} ^ {1} ( mathbf {L} _ {X_ {0} / { text {Spec}} (k)}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}})}
туынды категориялардың жалпы теориясынан және ext тобы бірінші ретті деформацияларды жіктейді. Содан кейін бірқатар төмендетулер арқылы бұл топты есептеуге болады. Біріншіден, бері L A n / Spec ( к ) ≅ Ω A n / Spec ( к ) 1 { displaystyle mathbf {L} _ { mathbb {A} ^ {n} / { text {Spec}} (k)} cong Omega _ { mathbb {A} ^ {n} / { text {Spec}} (k)} ^ {1}} RHom ( мен ∗ L A n / Spec ( к ) , O X 0 [ + 1 ] ) = 0 { displaystyle { textbf {RHom}} (i ^ {*} mathbf {L} _ { mathbb {A} ^ {n} / { text {Spec}} (k)}, { mathcal {O }} _ {X_ {0}} [+ 1]) = 0} L X 0 / A n ≅ Мен / Мен 2 [ + 1 ] { displaystyle mathbf {L} _ {X_ {0} / mathbb {A} ^ {n}} cong { mathcal {I}} / { mathcal {I}} ^ {2} [+ 1] }
RHom ( L X 0 / A n , O X 0 [ + 1 ] ) ≅ RHom ( Мен / Мен 2 [ + 1 ] , O X 0 [ + 1 ] ) ≅ RHom ( Мен / Мен 2 , O X 0 ) ≅ Қосымша 0 ( Мен / Мен 2 , O X 0 ) ≅ Хом ( Мен / Мен 2 , O X 0 ) ≅ O X 0 { displaystyle { begin {aligned} { textbf {RHom}} ( mathbf {L} _ {X_ {0} / mathbb {A} ^ {n}}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}} [+ 1]) cong & { textbf {RHom}} ({ mathcal {I}} / { mathcal {I}} ^ {2} [+ 1], { mathcal {O} } _ {X_ {0}} [+ 1]) cong & { textbf {RHom}} ({ mathcal {I}} / { mathcal {I}} ^ {2}, { mathcal { O}} _ {X_ {0}}) cong & { text {Ext}} ^ {0} ({ mathcal {I}} / { mathcal {I}} ^ {2}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}}) cong & { text {Hom}} ({ mathcal {I}} / { mathcal {I}} ^ {2}, { mathcal { O}} _ {X_ {0}}) cong & { mathcal {O}} _ {X_ {0}} end {aligned}}}
Соңғы изоморфизм изоморфизмнен шығады Мен / Мен 2 ≅ Мен ⊗ O A n O X 0 { displaystyle { mathcal {I}} / { mathcal {I}} ^ {2} cong { mathcal {I}} otimes _ {{ mathcal {O}} _ { mathbb {A} ^ {n}}} { mathcal {O}} _ {X_ {0}}}
Хом O X 0 ( Мен ⊗ O A n O X 0 , O X 0 ) { displaystyle { text {Hom}} _ {{ mathcal {O}} _ {X_ {0}}} ({ mathcal {I}} otimes _ {{ mathcal {O}} _ { mathbb {A} ^ {n}}} { mathcal {O}} _ {X_ {0}}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}})} [ ж f ] ↦ ж ′ ж + ( f ) { displaystyle [gf] mapsto g'g + (f)}
қажетті изоморфизм беру. Котангенс тізбегінен
( f ) ( f ) 2 → [ ж ] ↦ г. ж ⊗ 1 Ω A n 1 ⊗ O X 0 → Ω X 0 / Spec ( к ) 1 → 0 { displaystyle { frac {(f)} {(f) ^ {2}}} xrightarrow {[g] mapsto dg otimes 1} Omega _ { mathbb {A} ^ {n}} ^ { 1} otimes { mathcal {O}} _ {X_ {0}} to Omega _ {X_ {0} / { text {Spec}} (k)} ^ {1} to 0}
(бұл іргелі үшбұрыштың қысқартылған нұсқасы) ұзын дәл дәйектіліктің байланыстырушы картасы қосарланған болып табылады [ ж ] ↦ г. ж ⊗ 1 { displaystyle [g] mapsto dg otimes 1}
Қосымша 1 ( L X 0 / к , O X 0 ) ≅ к [ х 1 , … , х n ] ( f , ∂ f ∂ х 1 , … , ∂ f ∂ х n ) { displaystyle { text {Ext}} ^ {1} ( mathbf {L} _ {X_ {0} / k}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}}) cong { frac {k [x_ {1}, ldots, x_ {n}]} { солға (f, { frac { жартылай f} { жартылай x_ {1}}}, ldots, { frac { ішінара f} { ішінара x_ {n}}} оң)}}}
Бұл есептеуді котангенс тізбегін және есептеуді қолдану арқылы жасауға болатындығын ескеріңіз Қосымша 1 ( Ω X 0 1 , O X 0 ) { displaystyle { text {Ext}} ^ {1} ( Omega _ {X_ {0}} ^ {1}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}})} [8]
к [ ε ] [ х 1 , … , х n ] f + ε ж { displaystyle { frac {k [ varepsilon] [x_ {1}, ldots, x_ {n}]} {f + varepsilon g}}}
элементіне ж ∈ Қосымша 1 ( L X 0 / к , O X 0 ) { displaystyle g in { text {Ext}} ^ {1} ( mathbf {L} _ {X_ {0} / k}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}})}
Сондай-ақ қараңыз Әдебиеттер тізімі ^ а б Kodaira (2005). Кешенді манифольдтар және күрделі құрылымдардың деформациясы 182 –184, 188–189. дои :10.1007 / b138372 . ISBN 978-3-540-22614-7 ^ Huybrechts 2005 , 6.2.6.^ Кешенді коллектордың күрделі кеңістіктен басты айырмашылығы - екіншісіне нілпотенцияға жол беріледі. ^ Арбарелло; Корналба; Гриффитс (2011). Алгебралық қисықтар геометриясы II ISBN 9783540426882 ^ Сернеси. «Классикалық деформация теориясына шолу» (PDF) . Мұрағатталды (PDF) түпнұсқасынан 2020-04-27. ^ Иллюзи, Л. Котангенс кешені; деформацияларды қолдану (PDF) . ^ Паламодов (1990). «Кешенді кеңістіктің деформациясы». Бірнеше күрделі айнымалылар IV . Математика ғылымдарының энциклопедиясы. 10 . 138, 130 б. дои :10.1007/978-3-642-61263-3_3 . ISBN 978-3-642-64766-6 ^ Талпо, Маттиа; Вистоли, Анджело (2011-01-30). «Талшық категориялары тұрғысынан деформация теориясы». 25-бет, 3.25-жаттығу. arXiv :1006.0497 math.AG ]. 
![{ displaystyle { mathcal {X}} to S = operatorname {Spec} (k [t] / t ^ {2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c30475ba09bd358c8f59805d8ddfd96da18b64d1)
![{ displaystyle { begin {matrix} X & to & { mathfrak {X}} downarrow && downarrow { text {Spec}} ( mathbb {C}) & to & { text {Spec}} ( mathbb {C} [ varepsilon]) end {matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9e30505f5d9f07a6c2fba43cfc69da1533de3d2)
![{ displaystyle mathbb {C} [ varepsilon]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34804818afb815199af6ef94b76ee23cf08ee284)
![{ displaystyle U _ { alpha} times { text {Spec}} ( mathbb {C} [ varepsilon])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5b57f4615e5dc110045c96f53f5f5d4d121a50c)
![{ displaystyle [ theta] in H ^ {1} (X, T_ {X})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ded99a5758f4092daa2a210c878e811224486c7)
![{ displaystyle { begin {matrix} X & to & { mathfrak {X}} downarrow && downarrow { text {Spec}} (k) & to & { text {Spec}} (k [ varepsilon]) end {matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1187fa90674efb7b13b591e3ea76e9550e7d6576)
![{ displaystyle 0 to pi ^ {*} Omega _ {{ text {Spec}} (k [ varepsilon])} ^ {1} to Omega _ { mathfrak {X}} ^ {1 } to Omega _ {{ mathfrak {X}} / S} ^ {1} - 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fb8f33b5ec1b81fb489a005aa9ab3cafa5b1e0b)
![{ displaystyle pi: { mathfrak {X}} to { text {Spec}} (k [ varepsilon])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e05153dcd48df6c35213696b8c785b997448d1e7)
![{ displaystyle { begin {aligned} mathbf {R} { text {Hom}} ( Omega _ {X} ^ {1}, { mathcal {O}} _ {X} [+ 1]) & cong mathbf {R} { text {Hom}} ({ mathcal {O}} _ {X}, T_ {X} [+ 1]) & cong { text {Ext}} ^ { 1} ({ mathcal {O}} _ {X}, T_ {X}) & cong H ^ {1} (X, T_ {X}) end {aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76f7c4e4ff752ae431f69a6a305c07d75bc69917)
![{ displaystyle f ^ {*} mathbf {L} _ {Y / Z} to mathbf {L} _ {X / Z} to mathbf {L} _ {X / Y} xrightarrow {[+ 1]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db96dd778212c872d7cd3a34be5b271ea696d9c5)
![{ displaystyle i ^ {*} mathbf {L} _ { mathbb {A} ^ {n} / { text {Spec}} (k)} to mathbf {L} _ {X_ {0} / { text {Spec}} (k)} to mathbf {L} _ {X_ {0} / mathbb {A} ^ {n}} xrightarrow {[+1]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ca3e85f5526fce3e3ac17aa1dfcb0a0faa58ce8)
![{ displaystyle { begin {aligned} & { textbf {RHom}} (i ^ {*} mathbf {L} _ { mathbb {A} ^ {n} / { text {Spec}} (k) }, { mathcal {O}} _ {X_ {0}} [+ 1]) leftarrow { textbf {RHom}} ( mathbf {L} _ {X_ {0} / { text {Spec}} (k)}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}} [+ 1]) leftarrow { textbf {RHom}} ( mathbf {L} _ {X_ {0} / mathbb {A } ^ {n}}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}} [+ 1]) leftarrow & { textbf {RHom}} (i ^ {*} mathbf {L} _ { mathbb {A} ^ {n} / { text {Spec}} (k)}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}}) leftarrow { textbf {RHom}} ( mathbf {L} _ {X_ {0} / { text {Spec}} (k)}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}}) leftarrow { textbf {RHom}} ( mathbf { L} _ {X_ {0} / mathbb {A} ^ {n}}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}}) end {aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/007307d8ab00c6056eb3b858dcf0dd8842655aa7)
![{ displaystyle { textbf {RHom}} ( mathbf {L} _ {X_ {0} / { text {Spec}} (k)}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}} [ +1]) cong { text {Ext}} ^ {1} ( mathbf {L} _ {X_ {0} / { text {Spec}} (k)}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb79f0717ae6ff55e7a3301d375da8519d786502)
![{ displaystyle { textbf {RHom}} (i ^ {*} mathbf {L} _ { mathbb {A} ^ {n} / { text {Spec}} (k)}, { mathcal {O }} _ {X_ {0}} [+ 1]) = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/326577be3d2b4cdf3d02d3e7d029a35e10c18c27)
![{ displaystyle mathbf {L} _ {X_ {0} / mathbb {A} ^ {n}} cong { mathcal {I}} / { mathcal {I}} ^ {2} [+ 1] }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a046e040a442362171f9e935f495b3f3ef59d620)
![{ displaystyle { begin {aligned} { textbf {RHom}} ( mathbf {L} _ {X_ {0} / mathbb {A} ^ {n}}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}} [+ 1]) cong & { textbf {RHom}} ({ mathcal {I}} / { mathcal {I}} ^ {2} [+ 1], { mathcal {O} } _ {X_ {0}} [+ 1]) cong & { textbf {RHom}} ({ mathcal {I}} / { mathcal {I}} ^ {2}, { mathcal { O}} _ {X_ {0}}) cong & { text {Ext}} ^ {0} ({ mathcal {I}} / { mathcal {I}} ^ {2}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}}) cong & { text {Hom}} ({ mathcal {I}} / { mathcal {I}} ^ {2}, { mathcal { O}} _ {X_ {0}}) cong & { mathcal {O}} _ {X_ {0}} end {aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4341124a6873fd252efe0d2bf6df3bead730874)
![{ displaystyle [gf] mapsto g'g + (f)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c49f01a5aedd883f7d82ad2215118addebb5eefb)
![{ displaystyle { frac {(f)} {(f) ^ {2}}} xrightarrow {[g] mapsto dg otimes 1} Omega _ { mathbb {A} ^ {n}} ^ { 1} otimes { mathcal {O}} _ {X_ {0}} to Omega _ {X_ {0} / { text {Spec}} (k)} ^ {1} to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e3c0293fef716bfdd4e6966326e285eadf4d14e)
![{ displaystyle [g] mapsto dg otimes 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba83ee8833e47d537d7f219fa9628391addd6129)
![{ displaystyle { text {Ext}} ^ {1} ( mathbf {L} _ {X_ {0} / k}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}}) cong { frac {k [x_ {1}, ldots, x_ {n}]} { солға (f, { frac { жартылай f} { жартылай x_ {1}}}, ldots, { frac { ішінара f} { ішінара x_ {n}}} оң)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5265002fa428a4d86ad340846ec413d36064ae6)
![{ displaystyle { frac {k [ varepsilon] [x_ {1}, ldots, x_ {n}]} {f + varepsilon g}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cf2364ffcec9450d453c25c7c60a7e3c08ad1e0)
