Nil ideal - Nil ideal - Wikipedia

Жылы математика, нақтырақ айтсақ сақина теориясы, солға, оңға немесе екі жақты идеалды а сақина деп аталады nil ideal егер оның элементтерінің әрқайсысы болса әлсіз.[1][2]

The нөлдік а ауыстырғыш сақина нөлдік идеалдың мысалы; шын мәнінде, бұл нөлдік қасиетке қатысты сақинаның максималды идеалы. Өкінішке орай, нөл элементтерінің жиынтығы әрқашан идеал бола бермейді жалпы емес сақиналар. Nil идеалдары әлі күнге дейін қызықты ашық сұрақтармен, әсіресе шешілмеген мәселелермен байланысты Көте болжам.

Коммутативті сақиналар

Коммутативті сақиналарда нөлдік идеалдарды коммутативті емес сақиналарға қарағанда жақсы түсінеді, ең алдымен коммутативті сақиналарда нілпотентті элементтер және нілпотентті элементтердің қосындылары екеуі де нольпотентті болады. Себебі, егер а және б нольпотентті элементтері болып табылады R бірге аn= 0 және бм= 0, және r - кез келген R элементі, онда (а·р)n = аn·рn = 0, ал биномдық теорема бойынша, (а+б)m + n= 0. Сондықтан барлық непотентті элементтер жиынтығы сақинаның нилрадикалы деп аталатын идеалды құрайды. Нилрадрадикада барлық нольпотентті элементтер бар болғандықтан, коммутативті сақинаның идеалы нөлдік болып табылады, егер ол нилрадикалдың бір бөлігі болса ғана, сондықтан нөлдік идеалдар арасында нилрадикал максималды болады. Сонымен қатар, кез-келген нолпотентті элемент үшін а ауыстырылатын сақинаның R, идеал aR нөлге тең. Коммутативті емес сақина үшін нилпотентті элементтер жиынтығы идеалды құрайтыны немесе а·R бұл нөлдік (біржақты) идеал, тіпті егер а нөлдік күшке ие.

Коммутативті емес сақиналар

Коммерциялық емес сақина теориясында нөлдік идеалдар теориясының маңызы зор. Атап айтқанда, арқылы түсіну сақиналар жоқ - кез-келген элементі нольпотентті сақиналар - жалпы сақиналар туралы анағұрлым жақсы түсінік алуы мүмкін.[3]

Коммутативті сақиналар жағдайында әрқашан максималды нөл идеалы болады: сақинаның нилрадикалы. Коммутативті сақиналар жағдайында осындай максималды нөл идеалының болуы нөл идеалдарының қосындысы қайтадан нөлге тең екендігімен кепілдендірілген. Алайда, екі нөлдік идеалдың қосындысы қайтадан сол нөлдік идеал болады деген тұжырымның ақиқаты шешілмейді; бұл «деп аталатын ашық мәселе Көте болжам.[4] Көте жорамалы алғаш рет 1930 жылы пайда болды, бірақ 2010 жылға дейін шешілмеген.

Нилпотенттік идеалдармен байланыс

Нөлдік идеал ұғымының а-мен терең байланысы бар нілпотенттік идеал және сақиналардың кейбір кластарында екі түсінік сәйкес келеді. Егер идеал нөлпотент болса, онда ол, әрине, нөлге тең болады. Нөлдік идеалдардың нөлпотентті болуы үшін екі негізгі тосқауыл бар:

  1. Көрсеткіштің элементтерін жою үшін жоғарғы шегі болмауы керек. Ерікті түрде жоғары көрсеткіштер қажет болуы мүмкін.
  2. Өнімі n нөлдік потенциалды элементтер ерікті түрде жоғары болуы мүмкін n.

Нөлдік идеал нөлдік қабілетке ие болу үшін осы екі кедергілерден аулақ болу керек.

Ішінде оң жақ артиналық сақина, кез-келген нөлдік идеал нілпотент болып табылады.[5] Бұл кез-келген нөлдік идеалдың Джейкобсон радикалды сақина, ал Джейкобсон радикалы нилпотентті идеал болғандықтан (артиналық гипотезаға байланысты) нәтиже шығады. Шындығында, бұл жалпыланған оң нотериялық сақиналар; нәтиже ретінде белгілі Левицкий теоремасы. Утумиге байланысты қарапайым дәлелді мына жерден табуға болады:Герштейн 1968, Теорема 1.4.5, б. 37)

Сондай-ақ қараңыз

Ескертулер

  1. ^ Айзекс 1993 ж, б. 194
  2. ^ Герштейн 1968, Анықтама (b), б. 13
  3. ^ 2 бөлім Смоктунович 2006, б. 260
  4. ^ Герштейн 1968, б. 21
  5. ^ Айзекс 1993 ж, Қорытынды 14.3, б. 195.

Әдебиеттер тізімі

  • Герштейн, I. N. (1968), Коммутативті емес сақиналар (1-ші басылым), Американың математикалық қауымдастығы, ISBN  0-88385-015-X
  • Исаакс, I. Мартин (1993), Алгебра, бітіруші курс (1-ші басылым), Brooks / Cole Publishing Company, ISBN  0-534-19002-2
  • Смоктунович, Агата (2006), «Кейбір нәтижелер шартты емес сақиналық теорияға әкеледі» (PDF), Халықаралық математиктер конгресі, т. II, Цюрих: Еуропалық математикалық қоғам, 259–269 б., ISBN  978-3-03719-022-7, МЫРЗА  2275597, алынды 2009-08-19