Палиндромдық сан - Palindromic number - Wikipedia

A палиндромдық сан (сонымен бірге а сандық палиндром немесе а сандық палиндром) - бұл сан (мысалы, 16461), оның цифрлары өзгертілгенде өзгеріссіз қалады. Басқаша айтқанда, бар шағылысқан симметрия тік ось бойынша. Термин палиндромды алынған палиндром, бұл сөзге қатысты (мысалы ротор немесе жеңіл автокөлік) оның әріптері өзгерген кезде жазылуы өзгермейді. Алғашқы 30 палиндромдық сандар (in ондық ) мыналар:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, 202,… (реттілік) A002113 ішінде OEIS ).

Палиндромдық сандарға көп көңіл бөлінеді рекреациялық математика. Әдеттегі мәселе белгілі бір қасиетке ие сандарды сұрайды және палиндромды. Мысалы:

The палиндромдық жай бөлшектер 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151,… болып табылады (реттілік) A002385 ішінде OEIS ).
Палиндромды шаршы сандар 0, 1, 4, 9, 121, 484, 676, 10201, 12321,… болып табылады A002779 ішінде OEIS ).

Кез-келгенінде екені анық негіз Сонда бар шексіз көп палиндромды сандар, өйткені кез-келген негізде шексіз жүйелі 101, 1001, 10001, 100001 және т.с.с. түрінде жазылған (сол негізде) сандар тек палиндромдық сандардан тұрады.

Ресми анықтама

Палиндромды сандар көбінесе ондық жүйесі, туралы түсінік палиндромия қолданылуы мүмкін натурал сандар кез-келгенінде сандық жүйе. Бір санды қарастырайық n > 0 дюйм негіз б ≥ 2, онда ол стандартты нотада жазылған к+1 цифрлар а_мен сияқты:

{ displaystyle n = sum _ {i = 0} ^ {k} a_ {i} b ^ {i}}

, әдеттегідей, 0 ≤а_мен < б барлығына мен және а_к Then 0. Содан кейін n егер ол болса ғана палиндромды болып табылады а_мен = а_к−мен барлығына мен. Нөл кез-келген негізде 0 деп жазылады, сонымен қатар анықтамасы бойынша палиндромды болады.

Ондық палиндромдық сандар

Барлық сандар 10-негіз (және кез-келген негізде) біреуімен цифр палиндромды, сондықтан бір таңбалы ондық ондық палиндромдық сандар бар:

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Екі цифрдан тұратын 9 палиндромдық сан бар:

{11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}.

Үш саннан тұратын 90 палиндромдық сандар бар Өнімнің ережесі: Бірінші цифр үшін 9 таңдау - бұл үшінші цифрды да анықтайды - екінші цифр үшін 10 таңдауға көбейтіледі):

{101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, …, 909, 919, 929, 939, 949, 959, 969, 979, 989, 999}

Төрт цифры бар 90 палиндромдық сан да бар (тағы да, бірінші цифр үшін 9 таңдау, екінші цифрға он таңбаға көбейтіледі. Қалған екі цифр алғашқы екеуінің таңдауымен анықталады):

{1001, 1111, 1221, 1331, 1441, 1551, 1661, 1771, 1881, 1991, …, 9009, 9119, 9229, 9339, 9449, 9559, 9669, 9779, 9889, 9999},

сондықтан 10-нан төмен 199 палиндромдық сандар бар⁴.

10-дан төмен⁵ 1099 палиндромды сандар және 10-ның басқа көрсеткіштері барⁿ бізде: 1999, 10999, 19999, 109999, 199999, 1099999,… (реттілік) A070199 ішінде OEIS ). Басқа қасиеттері бар палиндромдық сандардың саны төменде келтірілген:

	10¹	10²	10³	10⁴	10⁵	10⁶	10⁷	10⁸	10⁹	10¹⁰
n табиғи	10	19	109	199	1099	1999	10999	19999	109999	199999
n тіпті	5	9	49	89	489	889	4889	8889	48889	88889
n тақ	5	10	60	110	610	1110	6110	11110	61110	111110
n шаршы	4		7		14	15	20		31
n текше	3		4	5			7			8
n қарапайым	4	5	20		113		781		5953
n шаршы	6	12	67	120	675	1200	6821	12160	+	+
n квадратсыз (μ (n) =0)	4	7	42	79	424	799	4178	7839	+	+
n қарапайым түбірі бар квадрат^[1]	2	3		5
n жұп санымен қарапайым факторлар (μ (n)=1)	2	6	35	56	324	583	3383	6093	+	+
n ерекше жай көбейткіштердің тақ санымен (μ (n)=-1)	4	6	32	64	351	617	3438	6067	+	+
n жай көбейткіштердің тақ санымен	1	2	9	21	100	180	1010	6067	+	+
n тіпті қарапайым факторлардың тақ санымен	3	4	21	49	268	482	2486	4452	+	+
n жай көбейткіштердің тақ санымен тақ	3	4	23	43	251	437	2428	4315	+	+
n тақ қарапайым және жай жай көбейткіштердің саны	4	5	28	56	317	566	3070	5607	+	+
n жай көбейткіштердің жұп саны бар квадратсыз	1	2	11	15	98	171	991	1782	+	+
n жай көбейткіштердің жұп саны бар тақ квадрат	1	4	24	41	226	412	2392	4221	+	+
n дәл 2 жай көбейткішпен тақ	1	4	25	39	205	303	1768	2403	+	+
n дәл 2 қарапайым фактормен де	2	3	11		64		413		+	+
n дәл 3 қарапайым фактормен болса да	1	3	14	24	122	179	1056	1400	+	+
n дәл 3 нақты фактормен де	0	1	18	44	250	390	2001	2814	+	+
n дәл 3 жай көбейткішпен тақ	0	1	12	34	173	348	1762	3292	+	+
n Кармайкл нөмірі	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1
n ол үшін σ (n) палиндромды	6	10	47	114	688	1417	5683	+	+	+

Керемет күштер

Палиндромды көптеген түрлері бар мінсіз күштер n^к, қайда n - бұл натурал сан және к 2, 3 немесе 4 құрайды.

Палиндромды квадраттар: 0, 1, 4, 9, 121, 484, 676, 10201, 12321, 14641, 40804, 44944, ... (реттілік A002779 ішінде OEIS )
Палиндромды текшелер: 0, 1, 8, 343, 1331, 1030301, 1367631, 1003003001, ... (реттілік A002781 ішінде OEIS )
Палиндромды төртінші билік: 0, 1, 14641, 104060401, 1004006004001, ... (реттілік A186080 ішінде OEIS )

1-тізбектің алғашқы тоғыз мүшесі², 11², 111², 1111², ... 1, 121, 12321, 1234321, ... палиндромдарын құрайды (реттілік) A002477 ішінде OEIS )

Тек қана палиндром болатын палиндромды емес сан - 2201, және бұл барлық палиндромның төртінші түбірінің гипотезасы болып саналады, бұл палиндром - 100000 ... 000001 (10)ⁿ + 1).

Дж. Дж. Симмонс форманың палиндромдары жоқ деп болжайды n^к үшін к > 4 (және n > 1).^[2]

Басқа негіздер

Палиндромды сандар деп санауға болады сандық жүйелер басқа ондық. Мысалы, екілік палиндромды сандар:

0, 1, 11, 101, 111, 1001, 1111, 10001, 10101, 11011, 11111, 100001, ... (реттілік A057148 ішінде OEIS )

немесе ондық санмен:

0, 1, 3, 5, 7, 9, 15, 17, 21, 27, 31, 33, ... (реттілік) A006995 ішінде OEIS )

The Ферма қарапайым және Mersenne қарапайым екілік палиндромдық жай бөлшектердің ішкі жиынын құрайды.

Кез келген нөмір ${ displaystyle n}$ барлық негіздерде палиндромды болып табылады ${ displaystyle b}$ бірге ${ displaystyle b> n}$ (тривиальды түрде, өйткені ${ displaystyle n}$ бұл бір таңбалы сан), сонымен қатар негізде ${ displaystyle n-1}$ (өйткені ${ displaystyle n}$ сол кезде ${ displaystyle 11_ {n-1}}$ ). Санның негізден кіші болатын жағдайларды қоспағанда, көптеген сандар бірнеше негізде палиндромды болады. Мысалға, ${ displaystyle 1221_ {4} = 151_ {8} = 77_ {14} = 55_ {20} = 33_ {34} = 11_ {104}}$ , ${ displaystyle 1991_ {10} = 7C7_ {16}}$ . Барлық негіздерде палиндромды емес сан ${ displaystyle b}$ қайда ${ displaystyle 1$ а деп аталады қатаң палиндромды емес сан.

Жылы 7-база 101. өйткені₇ екі есе керемет квадрат (5²=34₇), оның бірнеше еселіктері палиндромдық квадраттар:

13²	=	202
26²	=	1111
55²	=	4444
101²	=	10201
143²	=	24442

Жылы 18-негіз, жетінің кейбір күштері палиндромды:

7⁰	=	1
7¹	=	7
7³	=	111
7⁴	=	777
7⁶	=	12321
7⁹	=	1367631

Және 24 негіз бесеудің алғашқы сегіз күші палиндромды:

5⁰	=	1
5¹	=	5
5²	=	11
5³	=	55
5⁴	=	121
5⁵	=	5А5
5⁶	=	1331
5⁷	=	5FF5
5⁸	=	14641
5^A	=	15AA51
5^C	=	16FLF61

Негізіндегі палиндромдық сан б ұзындықтағы палиндромдық тізбектерден тұрады л палиндромды тәртіпте орналасқан (101 111 010 111 101 сияқты)₂) негізі палиндромды б^л (мысалы, жоғарыдағы екілік сан 2-негізде палиндромды³= 8 (ол 57275-ке тең₈))

133 квадрат₁₀ 30 базасында 4D болады₃₀² = ККК₃₀ = 3R₃₆² = DPD₃₆.24 базасында 5-ке байланысты палиндромдық квадраттар көбірек² = 11. Ал 1666 ... 6667 түріндегі барлық сандардың квадраттары (1 мен 7 аралығындағы кез-келген 6'ес санымен) палиндромды болады. 167² = 1E5E1, 1667² = 1E3K3E1, 16667² = 1E3H8H3E1.

Лихрель процесі

Палиндромды емес сандарды бірнеше амалдар арқылы палиндромды сандармен жұптауға болады. Алдымен, палиндромды емес сан кері қайтарылып, нәтиже бастапқы санға қосылады. Егер нәтиже палиндромды сан болмаса, бұл палиндромдық сан бергенше қайталанады. Мұндай нөмір «кешіктірілген палиндром» деп аталады.

Барлық палиндромды емес сандарды палиндромды сандармен осылай жұптауға болатындығы белгісіз. Бірде-бір нөмірдің жұптаспағаны дәлелденбегенімен, көбісі жоқ сияқты. Мысалы, 196 700,000,000 қайталанғаннан кейін де палиндром бермейді. Мұндай жолмен ешқашан палиндромға айналмайтын кез келген сан а деп аталады Лихрел нөмірі.

2017 жылдың 24 қаңтарында OEIS-те 1 999 299 987 030 606 810 саны жарияланды A281509 және «Ең танымал кешіктірілген палиндром» деп жариялады. 12591.291.987.030.606.810 дейінгі және кешіктірілмеген 125 261 сатылы ең кешіктірілген палиндромдардың дәйектілігі бөлек жарияланды A281508.

Қарым-қатынас сомасы

Палиндромдық сандардың өзара қосындысының қосындысы конвергентті қатар болып табылады, оның мәні шамамен 3.37028 ... (реттілік) A118031 ішінде OEIS ).

Шехеразадалық сандар

Шехеразадалық сандар арқылы анықталған сандар жиынтығы болып табылады Бакминстер Фуллер оның кітабында Синергетика.^[3] Фуллер бұл термин үшін формальды анықтама бермейді, бірақ келтірілген мысалдардан оның коэффициенті бар сандар деп түсінуге болады алғашқы n#, қайда n≥13 және ең үлкені жай фактор санда. Фуллер бұл сандарды атады Шехеразадалық сандар өйткені олардың 1001 коэффициенті болуы керек. Шехеразада туралы әңгімеші Мың бір түн, әр кеш сайын оның орындалуын кейінге қалдыру үшін жаңа оқиға айтады. Бастап n кем дегенде 13, примораль кем дегенде 1 · 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13, ал 7 × 11 × 13 = 1001 болуы керек. Толығырақ 1001 деңгейлерін де Шехеразадалар сандары деп атайды. Scheherazade нөмірі бар ең кіші примораль 13 # = 30,030 құрайды.

Фуллер бұл сандардың кейбіреулері цифрлар тобы бойынша палиндромды екенін көрсетті. Мысалы 17 # = 510,510 үш цифрдан тұратын топтардың симметриясын көрсетеді. Фуллер осындай сандарды шақырды Scheherazade керемет есте қалатын кешенді дивидендтернемесе SSRCD нөмірлері. Фуллер қуатқа көтерілген 1001 тек қана өндіріп қоймайды деп атап өтті есте қаларлықтай үш таңбалы топтарда палиндромды болатын сандар, сонымен қатар топтардың мәні болып табылады биномдық коэффициенттер. Мысалы,

${ displaystyle (1001) ^ {6} = 1,006,015,020,015,006,001}$

Бұл реттілік сәтсіз болады (1001)¹³ өйткені бар тасымалдау цифры кейбір топтарда сол жаққа топқа алынды. Оларды жазуды Фуллер ұсынады төгілу бөлек жолда. Егер бұл жасалса, қажет болған жағдайда көп сызықты сызықтарды қолданып, симметрия кез-келген қуатқа шексіз сақталады.^[4] Шехеразаданың көптеген басқа сандары осыған ұқсас симметрияларды көрсетеді.^[5]

Палиндромдардың қосындылары

2018 жылы әрбір оң бүтін санды 5 немесе одан жоғары негіздермен әр санау жүйесіндегі үш палиндромдық сандардың қосындысы түрінде жазуға болатындығын көрсететін қағаз шықты.^[6]

Сондай-ақ қараңыз

Ескертулер

^ (жүйелі A065379 ішінде OEIS ) Келесі мысал - 19 цифр - 900075181570009.
^ Мюррей С. Кламкин (1990), Қолданбалы математикадағы мәселелер: SIAM шолуы бойынша таңдау, б. 520.
^ Бакминстер Фуллер, Э. Дж. Эппл Уайтпен, Синергетика: Ойлау геометриясындағы ізденістер, Макмиллан, 1982 ISBN 0-02-065320-4.
^ Толық, 773-774 бет
^ Толығырақ, 777-780 б
^ Киллеруэло, Хавьер; Лука, Флориан; Бакстер, Льюис (2016-02-19). «Әрбір оң бүтін сан - үш палиндромның қосындысы». Есептеу математикасы. (arXiv алдын ала басып шығару )

Әдебиеттер тізімі

Malcolm E. сызықтары: Сіздің ойыңызға арналған нөмір: Евклидтен бастап соңғы компьютерлерге дейінгі сан туралы фактілер мен болжамдар: CRC Press 1986, ISBN 0-85274-495-1, 61 (Шектеулі онлайн-нұсқа (Google Books) )

Сыртқы сілтемелер

Вайсштейн, Эрик В. «Палиндромдық нөмір». MathWorld.
Джейсон Дюкет - 196 палиндромдық квест / кешіктірілген палиндромдық нөмір
196 және басқа лиррель сандары
Жалпы палиндромдық сандар туралы MathPages сайтында
Палиндромдық сандар 100000 дейін Математикадан сұраңыз
П.Де Гест, Палиндром кубтары
Ютака Нишияма, Санды палиндромдар және 196 есеп, IJPAM, 80-том, No3, 375-384, 2012 ж.

[1] ^ (жүйелі A065379 ішінде OEIS ) Келесі мысал - 19 цифр - 900075181570009.

[2] ^ Мюррей С. Кламкин (1990), Қолданбалы математикадағы мәселелер: SIAM шолуы бойынша таңдау, б. 520.

[3] Бакминстер Фуллер, Э. Дж. Эппл Уайтпен, Синергетика: Ойлау геометриясындағы ізденістер, Макмиллан, 1982 ISBN 0-02-065320-4.

[4] ^ Толық, 773-774 бет

[5] ^ Толығырақ, 777-780 б

[6] Киллеруэло, Хавьер; Лука, Флориан; Бакстер, Льюис (2016-02-19). «Әрбір оң бүтін сан - үш палиндромның қосындысы». Есептеу математикасы. (arXiv алдын ала басып шығару )

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]