Ромбтық додекаэдр - Rhombic dodecahedron

Ромбтық додекаэдр
(Айналмалы модель үшін мына жерді басыңыз)
Түрі	Каталон қатты
Коксетер диаграммасы
Конвей белгісі	jC
Бет түрі	V3.4.3.4 ромб
Жүздер	12
Шеттер	24
Тік	14
Түстер бойынша типтер	8{3}+6{4}
Симметрия тобы	O_сағ, B₃, [4,3], (*432)
Айналдыру тобы	O, [4,3]⁺, (432)
Екі жақты бұрыш	120°
Қасиеттері	дөңес, бет-транзитивті екі жақты, изотоксалды, параллеледр
Кубоктаэдр (қос полиэдр )	Желі

Ромбтық додекаэдрдің 3d моделі

Жылы геометрия, ромбикалық додекаэдр Бұл дөңес полиэдр 12 үйлесімді ромбикалық жүздер. Онда 24 бар шеттері және 14 төбелер екі түрден тұрады. Бұл Каталон қатты, және қос полиэдр туралы кубоктаэдр.

Қасиеттері

Ромбтық додекаэдр - бұл а зонэдр. Оның көпсалалы қосарланған болып табылады кубоктаэдр. Әр тұлғаның ұзын диагоналы дәл келеді √2 қысқа диагональдың ұзындығынан, сондықтан өткір әр бетіндегі өлшемдер арккос (1/3) немесе шамамен 70.53 °.

Қосарланған ан Архимед полиэдрі, ромбикалық додекаэдр болып табылады бет-транзитивті, мағынасын білдіреді симметрия тобы қатты актілердің өтпелі беттер жиынтығында. Бастапқы терминдерде бұл кез келген екі А және В беткейлерде а болатындығын білдіреді айналу немесе шағылысу оны А-ны В-ға жылжытқанда кеңістіктің бірдей аймағын алып жатқан оны қалдыратын қатты дененің

Ромбиялық додекаэдрді куб пен октаэдр шыңдарының бірігуінің дөңес қабығы ретінде қарастыруға болады. 4 ромби кездесетін 6 төбеге октаэдр шыңдары сәйкес келеді, ал 3 ромби кездесетін 8 шыңға текше шыңдары сәйкес келеді.

Ромбиялық додекаэдр - тоғыздың бірі шеткі-өтпелі дөңес полиэдра, қалғандары бесеу Платондық қатты денелер, кубоктаэдр, икозидодекаэдр және ромбты триаконтаэдр.

Ромбтық додекаэдрді үйренуге болады tessellate үш өлшемді кеңістік. Ұқсас орынды толтыру үшін оны жинауға болады алты бұрышты ұшақты толтыру.

Бұл кеңістікті толтыратын тесселлациядағы полиэдр ретінде қарастыруға болады Voronoi tessellation туралы бетіне бағытталған кубтық тор. Бұл денеге бағытталған кубтық кристалдардың бриллоу аймағы. Сияқты кейбір минералдар гранат ромбикалық додекаэдрді құрайды кристалды әдет. Қалай Йоханнес Кеплер оның 1611 снежинкалар туралы кітабында (Strena seu de Nive Sexangula), бал аралары қалыптастыру үшін ромбтық додекаэдраның геометриясын қолданыңыз ұялар жасушалардың тесселляциясынан әрқайсысы а алты бұрышты призма жарты ромбты додекаэдрмен жабылған. Ромбиялық додекаэдр сонымен қатар -ның бірлік жасушаларында пайда болады гауһар және алмазоидтар. Бұл жағдайда төрт төбе жоқ (кезектесіп үш еселенген), бірақ химиялық байланыстар қалған шеттерінде жатыр.^[1]

Ромбтық додекаэдрдің графигі болып табылады гемильтондық емес.

Ромбиялық додекаэдр болуы мүмкін бөлшектелген оның орталығы 4-ке тең тригональды трапеция. Бұл ромбоведра - а-ның жасушалары тригональды трапеция тәрізді ұя. Бұл а диссекциясына ұқсас тұрақты алтыбұрыш ішіне бөлінген ромби, және жазықтықта а ромбиль.

Коллекциялары Лувр бастап шыққан ромбты додекахдрон түріндегі матрицаны қосыңыз Птолемей Египеті. Беттерге грек әріптері 1-ден 12-ге дейінгі сандарды бейнелейді: Α Β Γ Δ Ε Ζ Ϛ Η Θ Ι ΙΑ ΙΑ. Өлудің функциясы белгісіз.^[2]

Ромбтық додекаэдр
Ромбикалық алтыбұрыш
A гранат кристалл
Бұл анимация текшеден центр-бет-пирамидаларын төңкеріп, текшеден ромбтық додекаэдрдің құрылысын көрсетеді.

Өлшемдері

Егер ромбтық додекаэдрдің жиегінің ұзындығы болса а, радиусы туралы жазылған сфера (тангенс ромбикалық додекаэдрдің әрқайсысының бетіне)

{ displaystyle r _ { mathrm {i}} = { frac { sqrt {6}} {3}} a шамамен 0.816 , 496 , 5809a,}

OEIS: A157697

және радиусы орта сферасы болып табылады

{ displaystyle r _ { mathrm {m}} = { frac {2 { sqrt {2}}} {3}} a шамамен 0.942 , 809 , 041 , 58a,}

OEIS: A179587.

Ауданы және көлемі

Аудан A және дыбыс деңгейі V шеткі ұзындықтағы ромбтық додекаэдрдің а мыналар:

{ displaystyle { begin {aligned} A & = 8 { sqrt {2}} a ^ {2} шамамен 11.313 , 7085a ^ {2} V & = { frac {16 { sqrt {3}} } {9}} a ^ {3} шамамен 3.079 , 201 , 44a ^ {3} end {aligned}}}

Ортогональ проекциялар

The ромбикалық додекаэдр төрт ерекше ортогональды проекциялар оның бойымен симметрия осьтері, бетке, жиекке және шыңның екі түріне үш және төрт есе бағытталған. Соңғы екеуі Б-ға сәйкес келеді₂ және А₂ Coxeter ұшақтары.

Ортогональ проекциялар
Проективті симметрия	[4]	[6]	[2]	[2]
Ромб додекаэдр
Кубоктаэдр (қосарланған)

Декарттық координаттар

Пиритоэдр куб пен ромбты додекаэдр арасындағы ауытқулар	Кеңейту ромбикалық додекаэдр

Үш бетінің доғал бұрыштарында түйісетін сегіз төбесі бар Декарттық координаттар:

(±1, ±1, ±1)

Төрт бет олардың өткір бұрыштарымен түйісетін алты төбенің координаттары:

(± 2, 0, 0), (0, ± 2, 0) және (0, 0, ± 2)

Ромбиялық додекаэдрді а-ның азғындаушы шектеу жағдайы ретінде қарастыруға болады пиритоэдр, координаталарды ауыстырумен (±1, ±1, ±1) және (0, 1 + сағ, 1 − сағ²) параметрімен сағ = 1.

Топологиялық эквивалентті формалар

Параллеледр

The ромбикалық додекаэдр Бұл параллеледр, а кеңістікті толтыратын полиэдр, dodecahedrille, қосарлы болу тетроктаэдрилл немесе жарты текше ұя, және екеуімен сипатталған Коксетер диаграммалары: және . D-мен_3d симметрия, оны ан түрінде қарастыруға болады созылған тригональды трапеция.

Ромбтық додекаэдр мүмкін өзінің аударма көшірмелері арқылы кеңістікті tessellate. Сонымен жұлдызды ромбикалық додекаэдр.	The ромбикалық додекаэдр параллель жиектердің 4 жиынтығымен салуға болады.

Дихедралды ромбты додекаэдр

Ромбтық додекаэдрдің басқа симметриялы құрылыстары да кеңістікті толтырады параллелоптар олар кеңістікті толтырудың вариацияларына ұқсас қысқартылған октаэдра.^[3]

Мысалы, 4 квадрат бетпен, және 60 градус ромбикалық беттермен және Д._{4 сағ} екі жақты симметрия, тапсырыс 16. Оны а ретінде қарастыруға болады кубоктаэдр бірге шаршы пирамидалар үстіңгі және астыңғы жағында толықтырылған.

	Желі	Координаттар (0, 0, ±2) (±1, ±1, 0) (±1, 0, ±1) (0, ±1, ±1)

Билински додекаэдрі

Билинский додекаэдрі, олардың шеттері мен алдыңғы беттері симметриялылық позицияларымен боялған.	Параллель жиектермен боялған Билинский додекаэдрі

1960 ж Станко Билинский 12 координентті ромбты жүзді екінші ромбты додекаэдрді тапты Билински додекаэдрі. Оның топологиясы бірдей, бірақ геометриясы әр түрлі. Бұл формадағы ромбикалық беттерде бар алтын коэффициент.^[4]^[5]

Жүздер
Бірінші форма	Екінші форма

√2:1	√5 + 1/2:1

Дельтоидты додекаэдр

Мысал таза (3/4,3/2)

Кейде а деп аталатын тағы бір топологиялық эквивалентті вариация дельтоидты додекаэдр^[6] немесе трапеция тәрізді додекаэдр,^[7]^[8] болып табылады екі жақты бірге тетраэдрлік симметрия бұйрық 24, ромбикалық тұлғаларды бұрмалай отырып батпырауық (дельтоидтер). Оның тетраэдрлік конверті бар 4 балама жиынтықта реттелген немесе шығарылған 8 төбесі бар. Вариацияларды (а,б), қайда б және а тұлғаның төрт төбесінде анықталған тетраэдрдің нөлге тең болатындығы, яғни жазық бет болатындығы бір-біріне тәуелді. (1,1) - ромбты шешім. Қалай (а) тәсілдер 1/2, (б) шексіздікке жақындайды. Әрқашан ұстайды 1/а + 1/б = 2, a, b> мәндерімен 1/2.

(±2, 0, 0), (0, ±2, 0), (0, 0, ±2)

(а, а, а), (−а, −а, а), (−а, а, −а), (а, −а, −а)

(−б, −б, −б), (−б, б, б), (б, −б, б), (б, б, −б)

(1,1)	(7/8,7/6)	(3/4,3/2)	(2/3,2)	(5/8,5/2)	(9/16,9/2)

Ұқсас полиэдралар

Сфералық ромбты додекаэдр

Біртекті октаэдрлік полиэдра
Симметрия: [4,3], (*432)							[4,3]⁺ (432)	[1⁺,4,3] = [3,3] (*332)		[3⁺,4] (3*2)
{4,3}	т {4,3}	р {4,3} r {3^1,1}	т {3,4} т {3^1,1}	{3,4} {3^1,1}	рр {4,3} с₂{3,4}	тр {4,3}	сер. {4,3}	сағ {4,3} {3,3}	сағ₂{4,3} т {3,3}	с {3,4} s {3^1,1}

		=	=	=				= немесе	= немесе	=

Бірыңғай полиэдраларға арналған қосарлар
V4³	V3.8²	V (3.4)²	V4.6²	V3⁴	V3.4³	V4.6.8	V3⁴.4	V3³	V3.6²	V3⁵

Сфераға проекциялау кезінде (оң жаққа қараңыз), оның шеттерін құрайтынын көруге болады екі тетраэдраның шеттері екі қалыпта орналасқан (стелла октангула). Бұл үрдіс жалғасуда дельтоидты икозететраэдр және дельтоидты гексеконтаэдр басқа тұрақты полиэдраның қосарланған жұптары үшін (бірге) үшбұрышты бипирамида егер дұрыс емес плиткаларды қарастыру қажет болса), бұл формаға баламалы жүйелік атау беру дельтоидты додекаэдр.

*n42 екі жақты кеңейтілген плиткалардың 42 симметриялы мутациясы: V3.4.n.4
Симметрия *n32 [n, 3]	Сфералық				Евклид.	Ықшам гиперб.		Парако.
Симметрия *n32 [n, 3]	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]
Сурет Конфигурация.	V3.4.2.4	V3.4.3.4	V3.4.4.4	V3.4.5.4	V3.4.6.4	V3.4.7.4	V3.4.8.4	V3.4.∞.4

Бұл полиэдр тізбектің бөлігі болып табылады ромбтық полиэдра және [n,3] Коксетер тобы симметрия. Кубты ромбтар төртбұрыш болатын ромбты алтыбұрыш ретінде қарастыруға болады.

Екі квазирегулярлы плиткалардың симметриялы мутациясы: V (3.n)²
* n32	Сфералық			Евклид	Гиперболалық
* n32	*332	*432	*532	*632	*732	*832...	*∞32
Плитка төсеу
Конф.	V (3.3)²	V (3.4)²	V (3,5)²	V (3.6)²	V (3.7)²	V (3.8)²	V (3.∞)²

*n42 квазирегулярлы қос плиткалардың 42 симметриялы мутациясы: V(4.н)²
Симметрия * 4n2 [n, 4]	Сфералық	Евклид	Ықшам гиперболалық				Паракомпакт	Компакт емес
Симметрия * 4n2 [n, 4]	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]...	*∞42 [∞,4]	[iπ / λ, 4]
Плитка төсеу Конф.	V4.3.4.3	V4.4.4.4	V4.5.4.5	V4.6.4.6	V4.7.4.7	V4.8.4.8	V4.∞.4.∞	V4.∞.4.∞

Сол сияқты, шексіз қатпарлар қатарына жатады бет конфигурациясы V3.2n.3.2n, біріншісі Евклид жазықтығында, ал қалғаны гиперболалық жазықтықта.

V3.4.3.4 (А ретінде салынды тор )	V3.6.3.6 Евклидті жазық плитка Ромбилді плитка	V3.8.3.8 Гиперболалық жазықтықты плитка (А. Суретінде) Poincaré дискінің моделі )

Жұлдызшалар

Көптеген дөңес полиэдралар сияқты, ромбтық додекаэдр болуы мүмкін жұлдызды жаңа полиэдрді қалыптастыру үшін беттерді немесе шеттерді кездескенге дейін ұзарту арқылы. Осындай бірнеше жұлдыздарды Дорман Люк сипаттаған.^[9]

Бұл анимация а-ның құрылысын көрсетеді жұлдызды ромбикалық додекаэдр ромбтық додекаэдрдің ортаңғы бет пирамидаларын төңкеру арқылы.

Бірінші жұлдызшаны көбінесе жай деп атайды жұлдызды ромбикалық додекаэдр, белгілі. Ромб негізіндегі пирамиданы қосу арқылы әр беті күшейтілген ромбты додекаэдр ретінде қарастырылуы мүмкін, оның биіктігі пирамиданың бүйірлері көршілес беттердің беткі жазықтықтарында жататындай:

Ромбтық додекаэдрдің алғашқы жұлдызшасы
12 пирамидаға және 4 жарты кубқа ыдыраудың 3D моделі

Лука тағы төрт жұлдызшаны сипаттайды: екінші және үшінші жұлдыздар (сыртқа қарай кеңейіп), бірі екіншісін үшіншіден алып тастау арқылы, ал екіншісі ромбикалық додекаэдрді бұрынғыға қайта қосу арқылы жасалған.

Екінші	Үшінші
Жұлдызды ромбикалық додекаэдр	Үлкен жұлдызды ромбикалық додекаэдр

Ұқсас политоптар

Керемет шың-бірінші проекциясында тессеракт Төбелері (ақшыл жасылмен белгіленген) ромбтық додекаэдрдің дәл ортасында проекцияланған

Ромбтық додекаэдр а шыңы-бірінші проекциясының корпусын құрайды тессеракт үш өлшемге дейін. Ромбиялық додекаэдрді төрт конгресентке бөлудің екі бірдей әдісі бар ромбоведра, тессерактардың проекциясы ретінде сегіз ромбоведраны бере отырып, 8 текше жасушалар. Проективті векторлардың бір жиынтығы: сен=(1,1,-1,-1), v=(-1,1,-1,1), w=(1,-1,-1,1).

Ромбтық додекаэдр а-ның максималды көлденең қимасын құрайды 24 жасуша, сонымен қатар оның шыңы-бірінші параллель проекциясының корпусын үш өлшемге құрайды. Ромбиялық додекаэдрді алты конгрегентке бөлуге болады (бірақ тұрақты емес) шаршы дипирамидалар орталықтағы бір төбедегі кездесу; бұл 24 жасушаның сегіз қырлы жасушаларының алты жұбының бейнелерін құрайды. Қалған 12 октаэдрлік жасушалар ромбтық додекаэдрдің беттеріне шығады. Бұл кескіндердің тұрақты еместігі проективті бұрмалаумен байланысты; 24 жасушаның қырлары 4 кеңістіктегі тұрақты октаэдра.

Бұл ыдырау ромбтық додекаэдрді салудың қызықты әдісін береді: кесу а текше алты үйлесімді квадрат пирамидаға бөліп, оларды екінші кубтың бетіне бекітіңіз. Әрбір іргелес пирамидалардың үшбұрышты беттері бір жазықтықта жатыр, сондықтан ромбтарға бірігеді. Сондай-ақ, 24-ұяшық аналогтық жолмен екеуінің көмегімен құрылуы мүмкін тессерактар.^[10]

Іс жүзінде қолдану

Ғарыш аппараттарында реакция дөңгелегі орналасу, а тетраэдрлік төрт дөңгелектің конфигурациясы әдетте қолданылады. Айналдыру бағыттары бойынша және барлық төрт дөңгелектерде бірдей (максималды моменттен және максималды бұрыштық импульс тұрғысынан) бірдей орындайтын дөңгелектер үшін 3 осьтің максималды моменті және максималды импульс конверттері қатынасты бақылау жүйесі (идеалдандырылған жетектерді ескере отырып) проекциялау арқылы беріледі тессеракт дөңгелектер осьтерінің 3 × 4 матрицасы арқылы әр дөңгелектің моментінің немесе импульсінің 3D кеңістігіне шекараларын бейнелеу; нәтижесінде алынған 3D полиэдрі - ромбты додекаэдр.^[11] Мұндай реакция дөңгелектерінің орналасуы жалғыз мүмкін конфигурация емес (қарапайым орналасу ортогональ осьтерде айналу үшін орнатылған үш дөңгелектен тұрады), бірақ төрт дөңгелектің біреуінің істен шығуын азайту үшін резервтеуді ұсынған тиімді (жалпы өнімділігі нашарлаған) қалған үш белсенді дөңгелектерден алуға болады) және текшеге қарағанда дөңес конвертті қамтамасыз етуде, бұл осьтің бағытына аз қозғалғыштық тәуелділікке әкеледі (жетекші / қондырғы тұрғысынан). Ғарыштық аппараттардың массалық қасиеттері жүйенің жалпы импульсі мен ептілігіне әсер етеді, сондықтан конверттің шекарасындағы дисперсияның төмендеуі біліктің жақтауларындағы біркелкіліктің жоғарылауына алып келмейді (яғни, тіпті жетектің ішкі жүйесінде мінсіз бөлінген өнімділік шегі болған кезде де, айналдыру осьтері ерікті емес) жүйелік деңгейде).

Сондай-ақ қараңыз

Додекаэдр
Ромбтық триаконтаэдр
Қиылған ромбикалық додекаэдр
24 жасуша - Ромбиялық додекаэдрдің 4D аналогы
Архимедтік құрылыс жүйелері
Толық қысқартылған ромбты додекаэдр

Әдебиеттер тізімі

^ Он екі сағаттық кристалды әдет Мұрағатталды 2009-04-12 сағ Wayback Machine. khulsey.com
^ Пердризет, Пауыл. (1930). «Le jeu alexandrin de l'icosaèdre». Bulletin de l'Institut français d'archéologie orientale. 30: 1–16.
^ Кеңістіктегі тапсырыс: Дизайн туралы кітап, Кит Критчлоу, б.56-57
^ Branko Grünbaum (2010). «Билинский Додекаэдры және түрлі параллелоедра, Зонохедра, Монохедра, Исозонохедра және басқалар» (PDF). 32 (4): 5-15. Архивтелген түпнұсқа (PDF) 2015-04-02. Журналға сілтеме жасау қажет | журнал = (Көмектесіңдер)
^ H.S.M Coxeter, «Тұрақты политоптар», Dover басылымдары, 1973 ж.
^ Экономикалық минералогия: пайдалы қазбаларды зерттеу бойынша практикалық нұсқаулық, 8-бет
^ http://mathworld.wolfram.com/Isohedron.html
^ http://loki3.com/poly/transforms.html
^ Люк, Д. (1957). «Ромбтық додекаэдр жұлдызшалары». Математикалық газет. 41 (337): 189–194. дои:10.2307/3609190. JSTOR 3609190.
^ https://www.youtube.com/watch?v=oJ7uOj2LRso
^ Маркли, Ф. Ландис (қыркүйек 2010). «Реакциялық-дөңгелекті массивтерге арналған максималды момент пен импульс конверттері». ntrs.nasa.gov. Алынған 2020-08-20.

Әрі қарай оқу

Уильямс, Роберт (1979). Табиғи құрылымның геометриялық негізі: Дизайн туралы дерек көзі. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (3-9 бөлім)
Веннингер, Магнус (1983). Қос модельдер. Кембридж университетінің баспасы. дои:10.1017 / CBO9780511569371. ISBN 978-0-521-54325-5. МЫРЗА 0730208. (Он үш дөңгелек дөңес полиэдра және олардың дуалдары, 19-бет, ромбтық додекаэдр)
Заттардың симметриялары 2008, Джон Х.Конвей, Хайди Бургиел, Хайм Гудман-Страсс, ISBN 978-1-56881-220-5 (21-тарау, Архимед пен каталондық полиэдраны және плиткаларын атау, 285-бет, ромбтық додекаэдр)