Алаң - Square

Алаң
Тұрақты көпбұрыш 4 annotated.svg
Тұрақты төртбұрыш
ТүріТұрақты көпбұрыш
Шеттер және төбелер4
Schläfli таңбасы{4}
Коксетер диаграммасыCDel түйіні 1.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel түйіні 1.pngCDel 2.pngCDel түйіні 1.png
Симметрия тобыЕкіжақты (Д.4), тапсырыс 2 × 4
Ішкі бұрыш (градус )90°
Қос көпбұрышӨзіндік
ҚасиеттеріДөңес, циклдік, тең жақты, изогональды, изотоксалды

Жылы геометрия, а шаршы Бұл тұрақты төртбұрыш бұл оның төрт тең және төрт тең болатындығын білдіреді бұрыштар (90-дәрежесі бұрыштар немесе 100-градиан бұрыштар немесе тік бұрыштар ). Оны а ретінде анықтауға болады тіктөртбұрыш онда екі көршілес жақтың ұзындығы тең болады. Шаршы төбелер А Б С Д деп белгіленетін еді А Б С Д.[1][2]

Мінездемелер

A дөңес төртбұрыш шаршы болып табылады егер және егер болса бұл келесілердің кез-келгені:[3][4]

  • A тіктөртбұрыш екі көршілес тең жақтары бар
  • A ромб тік төбенің бұрышымен
  • Барлық бұрыштары тең ромб
  • A параллелограмм бір тік төбенің бұрышымен және екі іргелес тең бүйірімен
  • A төртбұрыш төрт тең және төрт тік бұрыштар
  • Диагональдары тең болатын және бір-бірінің перпендикуляр биссектрисалары болатын төртбұрыш (яғни диагональдары тең ромб)
  • Қабырғалары дәйекті дөңес төртбұрыш а, б, в, г. оның ауданы [5]:Қорытынды 15

Қасиеттері

Квадрат - бұл а-ның ерекше жағдайы ромб (тең қабырғалар, тең бұрыштарға қарама-қарсы), а батпырауық (іргелес тең екі жұп), а трапеция (қарама-қарсы жақтардың бір жұбы параллель), а параллелограмм (барлық қарама-қарсы жақтар параллель), а төртбұрыш немесе тетрагон (төрт жақты көпбұрыш) және а тіктөртбұрыш (қарама-қарсы жақтары тең, тік бұрыштар), сондықтан барлық осы пішіндердің барлық қасиеттері бар, атап айтқанда:[6]

Периметрі мен ауданы

Квадраттың ауданы деп оның қабырғаларының ұзындығының көбейтіндісін айтады.

The периметрі төрт қабырғасының ұзындығы болатын квадраттың болып табылады

және аудан A болып табылады

[2]

Жылы классикалық уақыт, екінші қуат жоғарыдағы формуладағыдай квадраттың ауданы бойынша сипатталды. Бұл терминді қолдануға әкелді шаршы екінші билікке көтерілу дегенді білдіреді.

Ауданды диагональ көмегімен де есептеуге болады г. сәйкес

Тұрғысынан циррадиус R, квадраттың ауданы

өйткені шеңбердің ауданы квадрат оның шамамен 0,6366-ны толтырады айналма шеңбер.

Тұрғысынан инрадиус р, квадраттың ауданы

Себебі бұл тұрақты көпбұрыш, квадрат - берілген аумақты қоршайтын периметрдің ең кіші төртбұрышы. Екібұрыш дегеніміз - берілген периметр бойынша ең үлкен аумақты қамтитын төртбұрыш.[7] Шынында да, егер A және P төртбұрышпен қоршалған аудан мен периметр, содан кейін келесі болып табылады изопериметриялық теңсіздік ұстайды:

егер төртбұрыш төртбұрыш болса ғана теңдікпен.

Басқа фактілер

  • Квадраттың диагональдары болып табылады (шамамен 1.414) квадрат қабырғасының ұзындығынан артық. Ретінде белгілі бұл мән квадрат түбірі 2 немесе Пифагордың тұрақты,[2] дәлелденген алғашқы сан болды қисынсыз.
  • Квадратты а ретінде де анықтауға болады параллелограмм бұрыштарды екіге бөлетін тең диагональдармен.
  • Егер фигура тіктөртбұрыш (тік бұрыштар) және ромб (бірдей ұзындықтар) болса, онда бұл квадрат.
  • Егер шеңбер шаршы айналасында айналса, шеңбердің ауданы (шамамен 1,5708) квадраттың ауданынан үлкен.
  • Егер шаршыға дөңгелек салынған болса, шеңбердің ауданы (шамамен 0,7854) квадраттың ауданынан артық.
  • Квадраттың периметрі бірдей басқа төртбұрышқа қарағанда үлкен ауданы бар.[8]
  • A шаршы плитка үшеуінің бірі тұрақты плиткалар жазықтық (басқалары - тең бүйірлі үшбұрыш және тұрақты алтыбұрыш ).
  • Квадрат екі өлшемді политоптардың екі тобында орналасқан: гиперкуб және кросс-политоп. The Schläfli таңбасы шаршы үшін {4}.
  • Квадрат - өте жоғары симметриялы объект. Төрт жол бар шағылысқан симметрия және ол бар айналу симметриясы 4 ретті (90 °, 180 ° және 270 ° дейін). Оның симметрия тобы болып табылады екіжақты топ Д.4.
  • Егер квадраттың іштей сызылған шеңбері болса А Б С Д жанасу нүктелері бар E қосулы AB, F қосулы Б.з.д., G қосулы CD, және H қосулы DA, содан кейін кез-келген нүкте үшін P жазылған шеңберде,[9]
  • Егер - жазықтықтағы ерікті нүктеден -ге дейінгі қашықтық мен-квадраттың шыңы және болып табылады циррадиус шаршы, содан кейін[10]
  • Егер және - бұл жазықтықтағы ерікті нүктеден квадраттың центроиды мен оның төрт төбесіне дейінгі арақашықтық, сәйкесінше [11]
және
қайда квадраттың шеңбері болып табылады.

Координаталар мен теңдеулер

жоспарланған Декарттық координаттар.

Үшін координаттар төбелер тік және көлденең қабырғалары бар, ортасында центрі бар және ұзындығы 2-ге тең квадраттың (± 1, ± 1), ал бұл квадраттың ішкі жағы барлық нүктелерден тұрады (хмен, жмен) бірге −1 < хмен < 1 және −1 < жмен < 1. Теңдеу

осы квадраттың шекарасын анықтайды. Бұл теңдеу «х2 немесе ж2, қайсысы үлкен болса, 1-ге тең. « циррадиус осы квадраттың (квадраттың төбелері арқылы жүргізілген шеңбердің радиусы) квадраттың диагоналінің жартысына тең және оған тең Содан кейін шеңбер теңдеуі бар

Сонымен қатар теңдеу

центрі бар квадраттың шекарасын сипаттау үшін де қолдануға болады координаттар (а, б) және көлденең немесе тік радиусы р.

Құрылыс

Келесі анимацияларда a көмегімен квадратты қалай салу керектігі көрсетілген циркуль және түзу. Бұл 4 = 2 ретінде мүмкін2, а екінің күші.

Берілген шеңбер бойынша төртбұрыш
Берілген жақ ұзындығы бойынша квадрат,
көмегімен тік бұрыш Фалес теоремасы
Берілген диагональ бойынша квадрат

Симметрия

Диедралды симметриялар шыңдардан өтуіне байланысты бөлінеді (г. немесе диагональ үшін)б перпендикулярлар үшін) Ортаңғы бағандағы циклдік симметрия ретінде белгіленеді ж олардың орталық гиряциясы үшін. Квадраттың толық симметриясы r8 және ешқандай симметрия белгіленбейді a1.

The шаршы Дих бар4 симметрия, тапсырыс 8. Екі түрлі екі топшасы бар: Dih2, Дих1және 3 циклдік кіші топтар: Z4, З2және З1.

Квадрат - бұл көптеген төменгі симметриялы төртбұрыштардың ерекше жағдайы:

  • Екі көршілес тең қабырғалары бар тіктөртбұрыш
  • Төрт қабырғасы төрт және төртеуі тең төртбұрыш тік бұрыштар
  • Бір тік бұрышы және екі жанама тең қабырғалары бар параллелограмм
  • Тік бұрышы бар ромб
  • Барлық бұрыштары тең ромб
  • Диагональдары тең ромб

Бұл 6 симметрия квадрат бойынша 8 ерекше симметрияны білдіреді. Джон Конвей оларды әріппен және топтық тәртіппен белгілейді.[12]

Әрбір топша симметриясы біркелкі емес бір немесе бірнеше еркіндік дәрежесін береді төртбұрышты. r8 квадраттың толық симметриясы, және a1 симметрия емес. d4 а-ның симметриясы болып табылады тіктөртбұрыш, және p4 а-ның симметриясы болып табылады ромб. Бұл екі форма қосарланған және квадраттың жарты симметриялы реті болады. d2 - ан симметриясы тең бүйірлі трапеция, және p2 а-ның симметриясы болып табылады батпырауық. g2 а геометриясын анықтайды параллелограмм.

Тек g4 кіші топта еркіндік дәрежесі жоқ, бірақ шаршы түрінде көрінуі мүмкін бағытталған жиектер.

Үшбұрыштармен жазылған квадраттар

Әрқайсысы сүйір үшбұрыш үшеуі бар жазылған квадраттар (оның ішкі бөлігіндегі төртбұрыштың барлық төрт төбелері үшбұрыштың қабырғасында жататын квадраттар, сондықтан олардың екеуі бір жағында жатыр, демек квадраттың бір жағы үшбұрыштың қабырғасының бөлігімен сәйкес келеді). Ішінде тік бұрышты үшбұрыш квадраттардың екеуі сәйкес келеді және үшбұрыштың тік бұрышында төбесі болады, сондықтан тікбұрышты үшбұрышта тек екеуі болады айқын төртбұрыштар. Ан доғал үшбұрыш үшбұрыштың ең ұзын қабырғасының бөлігімен сәйкес келетін бір ғана квадрат жазылған.

Квадратпен толтырылған үшбұрыштың ауданының үлесі 1/2 артық емес.

Шеңберді квадраттау

Шеңберді квадраттау ұсынған ежелгі геометрлер, берілген алаңмен бірдей квадрат салу мәселесі шеңбер, қадамдарының тек ақырғы санын қолдану арқылы циркуль және түзу.

1882 жылы тапсырма мүмкін емес екендігі дәлелденді Линдеманн-Вейерштрасс теоремасы, бұл оны дәлелдейді pi (π) Бұл трансценденттік нөмір орнына алгебралық иррационал сан; яғни бұл емес тамыр кез келген көпмүшелік бірге рационалды коэффициенттер.

Евклидтік емес геометрия

Евклидтік емес геометрияда квадраттар көбінесе төрт тең қабырғалары мен бұрыштары бар көпбұрыштардан тұрады.

Жылы сфералық геометрия, квадрат дегеніміз шеттері болатын көпбұрыш үлкен шеңбер тең бұрыштармен түйісетін бірдей қашықтықтағы доғалар. Жазықтық геометрия квадратынан айырмашылығы, мұндай квадраттың бұрыштары тік бұрыштан үлкен. Үлкен сфералық квадраттардың бұрыштары үлкен болады.

Жылы гиперболалық геометрия, тік бұрыштары бар квадраттар жоқ. Керісінше, гиперболалық геометриядағы квадраттардың бұрыштары тік бұрыштардан аз болады. Үлкен гиперболалық квадраттардың бұрыштары кішірек.

Мысалдар:

Tetragonal dihedron.png
Екі квадрат сфераны әр шыңның айналасында 2 шаршы және 180 градуспен қаптай алады ішкі бұрыштар. Әр шаршы бүкіл жарты шарды қамтиды және олардың шыңдары а бойында жатыр үлкен шеңбер. Мұны сфералық квадрат деп атайды диедрон. The Schläfli таңбасы {4,2} құрайды.
Square.svg алаңы
Алты квадрат сфераны әр шыңның айналасында 3 шаршы және 120 градуспен қаптай алады ішкі бұрыштар. Мұны сфералық куб деп атайды. The Schläfli таңбасы {4,3} құрайды.
Square on plane.svg
Квадраттар тақтайшаны жаба алады The Евклидтік жазықтық әр шыңның айналасында 4-тен, әр квадраттың ішкі бұрышы 90 °. The Schläfli таңбасы болып табылады {4,4}.
Гиперболалық жазықтықтағы квадрат.png
Квадраттар тақтайшаны жаба алады The гиперболалық жазықтық әр шыңның айналасында 5-тен, әр шаршыда 72 градус ішкі бұрыштар болады. The Schläfli таңбасы болып табылады{4,5}. Шындығында, кез келген n ≥ 5 үшін әр шыңның айналасында n квадраттары бар гиперболалық плитка бар.

Шаршы кесіп өтті

Шаршы

A шаршы кесіп өтті Бұл бетпе-бет Квадраттың квадратының екі қарама-қарсы жиектерін алып тастап, оның екі диагональымен қайта қосу арқылы құрылған өздігінен қиылысатын көпбұрыш. Онда квадраттың жарты симметриясы бар, Дих2, тапсырыс 4. Мұның бәрі бірдей шыңдарды орналастыру шаршы ретінде, және болып табылады шың-өтпелі. Бұл екі болып көрінеді 45-45-90 үшбұрышы жалпы шыңмен, бірақ геометриялық қиылысу шың деп саналмайды.

Айқасқан квадратты кейде а-ға ұқсатады галстук-көбелек немесе көбелек. The қиылысқан тіктөртбұрыш байланысты, тіктөртбұрыштың беткейі ретінде, екі ерекше жағдай да байланысты қиылысқан төртбұрыштар.[13]

Айналдырылған квадраттың ішкі бөлігінде a болуы мүмкін көпбұрыш тығыздығы әрбір үшбұрышта ± 1, сағат тіліне немесе сағат тіліне қарсы орама бағытына тәуелді.

Квадрат пен қиылысқан квадраттың келесі қасиеттері бар:

  • Қарама-қарсы жақтары ұзындығы бойынша тең.
  • Екі диагональ ұзындығы бойынша тең.
  • Оның екі сызықты симметрия сызығы және 2 ретті айналу симметриясы бар (180 ° арқылы).

Ол бар төбелік фигура а біртекті жұлдызды полиэдра, тетрагемигексахедр.

Графиктер

Қ4 толық граф барлық алты мүмкін шеттері қосылған төртбұрыш түрінде салынады, сондықтан екі диагональ сызылған квадрат түрінде пайда болады. Бұл график сонымен бірге орфографиялық проекция 4 шыңы мен 6 қалыпты шетіқарапайым (тетраэдр ).

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ «Геометрия және тригонометрия нышандарының тізімі». Математикалық қойма. 2020-04-17. Алынған 2020-09-02.
  2. ^ а б в Вайсштейн, Эрик В. «Алаң». mathworld.wolfram.com. Алынған 2020-09-02.
  3. ^ Залман Усискин және Дженнифер Гриффин, «Төртбұрыштардың жіктелуі. Анықтаманы зерттеу», Ақпараттық дәуір басылымы, 2008, б. 59, ISBN  1-59311-695-0.
  4. ^ «1.3 жиынтығы». jwilson.coe.uga.edu. Алынған 2017-12-12.
  5. ^ Джозефссон, Мартин, «Екібұрышты төртбұрыштардың қасиеттері» Форум Geometricorum, 14 (2014), 129-144.
  6. ^ «Төртбұрыштар - төртбұрыш, тіктөртбұрыш, ромб, трапеция, параллелограмм». www.mathsisfun.com. Алынған 2020-09-02.
  7. ^ Чакериан, Г.Д. «Геометрияның бұрмаланған көрінісі». Ч. 7 дюйм Математикалық қара өрік (Р. Хонсбергер, редактор). Вашингтон, Колумбия округі: Американың математикалық қауымдастығы, 1979: 147.
  8. ^ 1999 ж., Мартин Лундсгаард Хансен, IT (с). «Вагн Лундсгаард Хансен». www2.mat.dtu.dk. Алынған 2017-12-12.CS1 maint: сандық атаулар: авторлар тізімі (сілтеме)
  9. ^ «Геометрия сабақтары, 331-есеп. Квадрат, жазылған шеңбердегі нүкте, тангенстік нүктелер. Математика мұғалімі магистр дәрежесі. Колледж, SAT Prep. Elearning, математиканың онлайн-оқытушысы, LMS». gogeometry.com. Алынған 2017-12-12.
  10. ^ Пу-Сун саябағы. «Тұрақты политоптық қашықтық», Форум Geometricorum 16, 2016, 227-232. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf
  11. ^ Месхишвили, Мамука (2020). «Тұрақты көпбұрыштар мен платондық қатты денелердің циклдық орташа мәндері». Математика және қолданбалы байланыс. 11: 335–355.
  12. ^ Джон Х.Конвей, Хайди Бургиел, Чаим Гудман-Стросс, (2008) Заттардың симметриялары, ISBN  978-1-56881-220-5 (20 тарау, жалпыланған Шефли таңбалары, көпбұрыштың симметрия түрлері 275-278 б.)
  13. ^ Уэллс, Кристофер Дж. «Төртбұрыштар». www.technologyuk.net. Алынған 2017-12-12.

Сыртқы сілтемелер

Іргелі дөңес тұрақты және біркелкі политоптар 2-10 өлшемдерінде
ОтбасыAnBnМен2(р) / Д.nE6 / E7 / E8 / F4 / G2Hn
Тұрақты көпбұрышҮшбұрышАлаңп-гонАлты бұрыштыПентагон
Біртекті полиэдрТетраэдрОктаэдрТекшеДемикубДодекаэдрИкозаэдр
Біртекті 4-политоп5 ұяшық16-ұяшықТессерактDemitesseract24 жасуша120 ұяшық600 ұяшық
Біртекті 5-политоп5-симплекс5-ортоплекс5 текше5-демикуб
Біртекті 6-политоп6-симплекс6-ортоплекс6 текше6-демикуб122221
Біртекті 7-политоп7-симплекс7-ортоплекс7 текше7-демикуб132231321
Біртекті 8-политоп8-симплекс8-ортоплекс8 текше8-демикуб142241421
Біртекті 9-политоп9-симплекс9-ортоплекс9-текше9-демикуб
Біртекті 10-политоп10-симплекс10-ортоплекс10 текше10-демикуб
Бірыңғай n-политопn-қарапайымn-ортоплексn-текшеn-демикуб1k22k1к21n-бесбұрышты политоп
Тақырыптар: Политоптар отбасыТұрақты политопТұрақты политоптар мен қосылыстардың тізімі