Интегралды бағалау әдістемесі
Туралы мақалалар топтамасының бөлігі |
Есеп |
---|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Жылы математика, тригонометриялық алмастыру болып табылады ауыстыру туралы тригонометриялық функциялар басқа өрнектер үшін. Жылы есептеу, тригонометриялық алмастыру - интегралды бағалау әдісі. Сонымен қатар, біреуін қолдануға болады тригонометриялық сәйкестіліктер біршама жеңілдету интегралдар құрамында радикалды өрнектер.[1][2] Ауыстыру арқылы интеграциялаудың басқа әдістері сияқты, белгілі бір интегралды бағалау кезінде интеграцияның шекараларын қолданбас бұрын антидеривативті толығымен шығару оңайырақ болуы мүмкін.
І жағдай: құрамында интегралдар ![{ displaystyle a ^ {2} -x ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/264648736234ef93254ab6ba708c519bbe1b5490)
Келіңіздер
және қолданыңыз жеке басын куәландыратын
.
І жағдайға мысалдар
І жағдайға арналған геометриялық құрылыс
1-мысал
Интегралда
![{ displaystyle int { frac {dx} { sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e29e1b20bdd4c5cd53d6f81fd2b2e1042643d49)
біз қолдана аламыз
![{ displaystyle x = a sin theta, quad dx = a cos theta , d theta, quad theta = arcsin { frac {x} {a}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bad3b2a8cf8191aa4778676789581652d1bcedd3)
Содан кейін,
![{ displaystyle { begin {aligned} int { frac {dx} { sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}}} & = int { frac {a cos theta , d theta} { sqrt {a ^ {2} -a ^ {2} sin ^ {2} theta}}} [6pt] & = int { frac {a cos theta , d theta} { sqrt {a ^ {2} (1- sin ^ {2} theta)}}} [6pt] & = int { frac {a cos theta , d theta} { sqrt {a ^ {2} cos ^ {2} theta}}} [6pt] & = int d theta [6pt] & = theta + C [6pt] & = arcsin { frac {x} {a}} + C. end {aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb0f45f461035d567bc90912abb383b4f184bc87)
Жоғарыдағы қадам осыны талап етеді
және
. Біз таңдай аламыз
негізгі тамыры болу
және шектеу қойыңыз
синустың кері функциясын қолдану арқылы.
Белгілі бір интеграл үшін интеграция шекаралары қалай өзгеретінін анықтау керек. Мысалы, ретінде
бастап
дейін
, содан кейін
бастап
дейін
, сондықтан
бастап
дейін
. Содан кейін,
![{ displaystyle int _ {0} ^ {a / 2} { frac {dx} { sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}}} = int _ {0} ^ { pi / 6} d theta = { frac { pi} {6}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2127bc2fad2ea93e68380a93642f51a93fcc91bd)
Шекараларды таңдау кезінде кейбір сақтық қажет. Себебі жоғарыдағы интеграция осыны талап етеді
,
тек баруға болады
дейін
. Бұл шектеуге мән бермей, біреу таңдаған болуы мүмкін
бару
дейін
, бұл нақты мәннің теріс нәтижесіне әкелуі мүмкін.
Сонымен қатар, шекаралық шарттарды қолданар алдында анықталмаған интегралдарды толығымен бағалаңыз. Бұл жағдайда антидериватив береді
Алдындағыдай.
2-мысал
Интеграл
![{ displaystyle int { sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}} , dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de22d16c42bbe542699ff29f856928cf9a94a2c2)
рұқсат беру арқылы бағалануы мүмкін ![{ displaystyle x = a sin theta, , dx = a cos theta , d theta, , theta = arcsin { frac {x} {a}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83db4f76bc98bd0ebf1955efda76aed226a39e2d)
қайда
сондай-ақ
, және
доға диапазоны бойынша, осылайша
және
.
Содан кейін,
![{ displaystyle { begin {aligned} int { sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}} , dx & = int { sqrt {a ^ {2} -a ^ {2} sin ^ {2} theta}} , (a cos theta) , d theta [6pt] & = int { sqrt {a ^ {2} (1- sin ^ {2} theta)}} , (a cos theta) , d theta [6pt] & = int { sqrt {a ^ {2} ( cos ^ {2} theta)}} , (a cos theta) , d theta [6pt] & = int (a cos theta) (a cos theta) , d theta [6pt] & = a ^ {2} int cos ^ {2} theta , d theta [6pt] & = a ^ {2} int left ({ frac {1+ cos 2 theta} {2} } оң) , d theta [6pt] & = { frac {a ^ {2}} {2}} солға ( theta + { frac {1} {2}} sin 2 theta right) + C [6pt] & = { frac {a ^ {2}} {2}} ( theta + sin theta cos theta) + C [6pt] & = { frac {a ^ {2}} {2}} left ( arcsin { frac {x} {a}} + { frac {x} {a}} { sqrt {1 - { frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}}}} right) + C [6pt] & = { frac {a ^ {2}} {2}} arcsin { frac {x} { a}} + { frac {x} {2}} { sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}} + C. end {aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dc8b7727d973d3575d22f781010591f86e20436)
Белгілі бір интеграл үшін алмастыру орындалғаннан кейін шекаралар өзгереді және теңдеу көмегімен анықталады
, диапазондағы мәндермен
. Сонымен қатар, шекаралық шарттарды антидеривативтің формуласына тікелей қолданыңыз.
Мысалы, анықталған интеграл
![{ displaystyle int _ {- 1} ^ {1} { sqrt {4-x ^ {2}}} , dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b4600cfb267579e77528a004d8b67d61329b44d)
ауыстыру арқылы бағалануы мүмкін
, қолдану арқылы анықталған шекаралармен
.
Бастап
және
,
![{ displaystyle { begin {aligned} int _ {- 1} ^ {1} { sqrt {4-x ^ {2}}} , dx & = int _ {- pi / 6} ^ { pi / 6} { sqrt {4-4 sin ^ {2} theta}} , (2 cos theta) , d theta [6pt] & = int _ {- pi / 6} ^ { pi / 6} { sqrt {4 (1- sin ^ {2} theta)}} , (2 cos theta) , d theta [6pt] & = int _ {- pi / 6} ^ { pi / 6} { sqrt {4 ( cos ^ {2} theta)}} , (2 cos theta) , d theta [ 6pt] & = int _ {- pi / 6} ^ { pi / 6} (2 cos theta) (2 cos theta) , d theta [6pt] & = 4 int _ {- pi / 6} ^ { pi / 6} cos ^ {2} theta , d theta [6pt] & = 4 int _ {- pi / 6} ^ { pi / 6} солға ({ frac {1+ cos 2 theta} {2}} оңға) , d theta [6pt] & = 2 солға [ theta + { frac {1} {2}} sin 2 theta right] _ {- pi / 6} ^ { pi / 6} = [2 theta + sin 2 theta] { Biggl |} _ {- pi / 6} ^ { pi / 6} = солға ({ frac { pi} {3}} + sin { frac { pi} {3}} оңға) - солға (- { frac {) pi} {3}} + sin left (- { frac { pi} {3}} right) right) = { frac {2 pi} {3}} + { sqrt {3 }}. [6pt] end {aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3290b5d8dffff518a7a54af50b0bbcad1051b19)
Екінші жағынан, шекара мүшелерін антидеривативті өнімділіктің бұрын алынған формуласына тікелей қолдану
![{ displaystyle { begin {aligned} int _ {- 1} ^ {1} { sqrt {4-x ^ {2}}} , dx & = left [{ frac {2 ^ {2}} {2}} arcsin { frac {x} {2}} + { frac {x} {2}} { sqrt {2 ^ {2} -x ^ {2}}} right] _ {- 1} ^ {1} [6pt] & = left (2 arcsin { frac {1} {2}} + { frac {1} {2}} { sqrt {4-1}} оң) - солға (2 arcsin солға (- { frac {1} {2}} оңға) + { frac {-1} {2}} { sqrt {4-1}} оңға) [6pt] & = солға (2 cdot { frac { pi} {6}} + { frac { sqrt {3}} {2}} оңға) - солға (2 cdot ) солға (- { frac { pi} {6}} оң) - { frac { sqrt {3}} {2}} оңға) [6pt] & = { frac {2 pi} {3}} + { sqrt {3}} end {aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/331bd80b5e0c5a19ece342b80e800bd3d1bc2093)
Алдындағыдай.
II жағдай: құрамында интегралдар ![{ displaystyle a ^ {2} + x ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fcd584d22bc92262f66dcbd397307df97494f76)
Келіңіздер
және жеке басын пайдаланыңыз
.
II жағдайға мысалдар
II жағдайға арналған геометриялық құрылыс
1-мысал
Интегралда
![{ displaystyle int { frac {dx} {a ^ {2} + x ^ {2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c09e16acbfd7c4c1079c381944b55247f8feada)
біз жаза аламыз
![{ displaystyle x = a tan theta, quad dx = a sec ^ {2} theta , d theta, quad theta = arctan { frac {x} {a}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f4dcc45c93a4a99ec39af3da242c8e3738f281d)
сондықтан интеграл болады
![{ displaystyle { begin {aligned} int { frac {dx} {a ^ {2} + x ^ {2}}} & = int { frac {a sec ^ {2} theta , d theta} {a ^ {2} + a ^ {2} tan ^ {2} theta}} [6pt] & = int { frac {a sec ^ {2} theta , d theta} {a ^ {2} (1+ tan ^ {2} theta)}} [6pt] & = int { frac {a sec ^ {2} theta , d theta} {a ^ {2} sec ^ {2} theta}} [6pt] & = int { frac {d theta} {a}} [6pt] & = { frac { theta} {a}} + C [6pt] & = { frac {1} {a}} arctan { frac {x} {a}} + C, end {aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c65e486a1f8cafb8397f72820972c35efacd858)
берілген
.
Белгілі бір интеграл үшін алмастыру орындалғаннан кейін шекаралар өзгереді және теңдеу көмегімен анықталады
, диапазондағы мәндермен
. Сонымен қатар, шекаралық шарттарды антидеривативтің формуласына тікелей қолданыңыз.
Мысалы, анықталған интеграл
![{ displaystyle int _ {0} ^ {1} { frac {4} {1 + x ^ {2}}} , dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b360d6deec97cc74441299a307ca56518ff84505)
ауыстыру арқылы бағалануы мүмкін
, қолдану арқылы анықталған шекаралармен
.
Бастап
және
,
![{ displaystyle { begin {aligned} int _ {0} ^ {1} { frac {4 , dx} {1 + x ^ {2}}} & = 4 int _ {0} ^ {1 } { frac {dx} {1 + x ^ {2}}} [6pt] & = 4 int _ {0} ^ { pi / 4} { frac { sec ^ {2} theta , d theta} {1+ tan ^ {2} theta}} [6pt] & = 4 int _ {0} ^ { pi / 4} { frac { sec ^ {2} theta , d theta} { sec ^ {2} theta}} [6pt] & = 4 int _ {0} ^ { pi / 4} d theta [6pt] & = (4 theta) { Bigg |} _ {0} ^ { pi / 4} = 4 left ({ frac { pi} {4}} - 0 right) = pi. End {aligned }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1fdc8a13ac2312f87a1c7b36cef5ca23eb89075)
Сонымен қатар, антидеривативті өнімділік формуласына шекаралық шарттарды тікелей қолдану
![{ displaystyle { begin {aligned} int _ {0} ^ {1} { frac {4} {1 + x ^ {2}}} , dx & = 4 int _ {0} ^ {1} { frac {dx} {1 + x ^ {2}}} & = 4 сол жақта [{ frac {1} {1}} arctan { frac {x} {1}} right] _ {0} ^ {1} & = 4 ( arctan x) { Bigg |} _ {0} ^ {1} & = 4 ( arctan 1- arctan 0) & = 4 солға ({ frac { pi} {4}} - 0 оңға) = pi, соңы {тураланған}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d22c46fc3be1aac3570a02e6914168f9e0fa0501)
бұрынғыдай.
2-мысал
Интеграл
![{ displaystyle int { sqrt {a ^ {2} + x ^ {2}}} , {dx}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b803094c2df957dda10a019daa3f7b0b552c54cf)
рұқсат беру арқылы бағалануы мүмкін ![{ displaystyle x = a tan theta, , dx = a sec ^ {2} theta , d theta, , theta = arctan { frac {x} {a}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/becc82ec3cefef1516128cf00fdce37056c6516f)
қайда
сондай-ақ
, және
арктангенстің диапазоны бойынша, сондықтан
және
.
Содан кейін,
![{ displaystyle { begin {aligned} int { sqrt {a ^ {2} + x ^ {2}}} , dx & = int { sqrt {a ^ {2} + a ^ {2} tan ^ {2} theta}} , (a sec ^ {2} theta) , d theta [6pt] & = int { sqrt {a ^ {2} (1+ tan ^ {2} theta)}} , (a sec ^ {2} theta) , d theta [6pt] & = int { sqrt {a ^ {2} sec ^ {2 } theta}} , (a sec ^ {2} theta) , d theta [6pt] & = int (a sec theta) (a sec ^ {2} theta) , d theta [6pt] & = a ^ {2} int sec ^ {3} theta , d theta. [6pt] end {aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/108a5f1becea83b5cb41021d81544ff3e1bab889)
The сектант кубтық интеграл көмегімен бағалауға болады бөліктер бойынша интеграциялау. Нәтижесінде,
![{ displaystyle { begin {aligned} int { sqrt {a ^ {2} + x ^ {2}}} , dx & = { frac {a ^ {2}} {2}} ( sec theta tan theta + ln | sec theta + tan theta |) + C [6pt] & = { frac {a ^ {2}} {2}} left ({ sqrt {) 1 + { frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}}}} cdot { frac {x} {a}} + ln left | { sqrt {1 + { frac { x ^ {2}} {a ^ {2}}}}} + { frac {x} {a}} right | right) + C [6pt] & = { frac {1} {2 }} left (x { sqrt {a ^ {2} + x ^ {2}}} + a ^ {2} ln left | { frac {x + { sqrt {a ^ {2} + x ^ {2}}}} {a}} right | right) + C. End {aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35b28bc818f9ffcffedfb2e767d2d578c4a3e038)
III жағдай: құрамында интегралдар ![{ displaystyle x ^ {2} -a ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13876905041dab46ee026a3ed803c28236efc5d6)
Келіңіздер
және жеке басын пайдаланыңыз ![{ displaystyle sec ^ {2} theta -1 = tan ^ {2} theta.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb4b3be9755542c047e4ecf6806046c37b05b628)
III жағдайға мысалдар
III жағдайға арналған геометриялық құрылыс
Ұқсас интегралдар
![{ displaystyle int { frac {dx} {x ^ {2} -a ^ {2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b30f75798064140e18d96a88c285fd35808652c)
арқылы бағалауға болады ішінара бөлшектер тригонометриялық алмастыруларға қарағанда. Алайда, интеграл
![{ displaystyle int { sqrt {x ^ {2} -a ^ {2}}} , dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0adc36a27b13417d665fc5e270f00f76aef98dd)
мүмкін емес. Бұл жағдайда тиісті ауыстыру болып табылады:
![{ displaystyle x = a sec theta, , dx = a sec theta tan theta , d theta, , theta = operatorname {arcsec} { frac {x} {a}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb7821f86646643d27738332a5beabc1da05f84b)
қайда
сондай-ақ
, және
болжау арқылы
, сондай-ақ
және
.
Содан кейін,
![{ displaystyle { begin {aligned} int { sqrt {x ^ {2} -a ^ {2}}} , dx & = int { sqrt {a ^ {2} sec ^ {2} theta -a ^ {2}}} cdot a sec theta tan theta , d theta & = int { sqrt {a ^ {2} ( sec ^ {2} theta - 1)}} cdot a sec theta tan theta , d theta & = int { sqrt {a ^ {2} tan ^ {2} theta}} cdot a sec theta tan theta , d theta & = int a ^ {2} sec theta tan ^ {2} theta , d theta & = a ^ {2} int ( sec theta) ( sec ^ {2} theta -1) , d theta & = a ^ {2} int ( sec ^ {3} theta - sec theta) , d theta. end {aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfa25abbc33d5141fff3eebfe40b132b19709f60)
Біреуін бағалауға болады секанттық функцияның интегралы бөлгіш пен бөлгішті көбейту арқылы
және сектант кубтық интеграл бөліктер бойынша.[3] Нәтижесінде,
![{ displaystyle { begin {aligned} int { sqrt {x ^ {2} -a ^ {2}}} , dx & = { frac {a ^ {2}} {2}} ( sec theta tan theta + ln | sec theta + tan theta |) -a ^ {2} ln | sec theta + tan theta | + C [6pt] & = { frac {a ^ {2}} {2}} ( sec theta tan theta - ln | sec theta + tan theta |) + C [6pt] & = { frac {a ^ {2}} {2}} солға ({ frac {x} {a}} cdot { sqrt {{ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - 1}} - ln left | { frac {x} {a}} + { sqrt {{ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - 1}} right | right) + C [6pt] & = { frac {1} {2}} сол жақ (x { sqrt {x ^ {2} -a ^ {2}}} - a ^ {2} ln сол | { frac {x + { sqrt {x ^ {2} -a ^ {2}}}} {a}} right | right) + C. end {aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d551bea9f1a33df981d45ab8cf11a1443d6da85)
Қашан
, бұл кезде болады
доға сексантының диапазонын ескере отырып,
, мағынасы
бұл жағдайда.
Тригонометриялық функцияларды жоятын алмастырулар
Ауыстыруды тригонометриялық функцияларды жою үшін қолдануға болады.
Мысалы,
![{ displaystyle { begin {aligned} int f ( sin (x), cos (x)) , dx & = int { frac {1} { pm { sqrt {1-u ^ {2 }}}}} f left (u, pm { sqrt {1-u ^ {2}}} right) , du && u = sin (x) [6pt] int f ( sin ( x), cos (x)) , dx & = int { frac {1} { mp { sqrt {1-u ^ {2}}}}} f left ( pm { sqrt {1) -u ^ {2}}}, u оң) , du && u = cos (x) [6pt] int f ( sin (x), cos (x)) , dx & = int { frac {2} {1 + u ^ {2}}} f left ({ frac {2u} {1 + u ^ {2}}}, { frac {1-u ^ {2}} {1 + u ^ {2}}} right) , du && u = tan left ({ tfrac {x} {2}} right) [6pt] end {aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a9a11e89e8ccd82a402c1c24e5c755bdd6400a0)
Соңғы ауыстыру ретінде белгілі Вейерштрассты ауыстыру, қолданады жанама жанама формулалар.
Мысалға,
![{ displaystyle { begin {aligned} int { frac {4 cos x} {(1+ cos x) ^ {3}}} , dx & = int { frac {2} {1 + u ^ {2}}} { frac {4 сол жақта ({ frac {1-u ^ {2}} {1 + u ^ {2}}} оң)} { сол жақта (1 + { frac {) 1-u ^ {2}} {1 + u ^ {2}}} оң) ^ {3}}} , du = int (1-u ^ {2}) (1 + u ^ {2} ) , du & = int (1-u ^ {4}) , du = u - { frac {u ^ {5}} {5}} + C = tan { frac {x} {2}} - { frac {1} {5}} tan ^ {5} { frac {x} {2}} + C. end {aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a49ac1614b4b912a8521f37a3ff4c0aa9af07f78)
Гиперболалық алмастыру
Ауыстыру гиперболалық функциялар интегралдарды оңайлату үшін де қолданыла алады.[4]
Интегралда
, ауыстыруды жасаңыз
, ![{ displaystyle dx = a cosh u , du.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d8b28fe7197f9f8ced2a86378f9e43fc14c1840)
Содан кейін, сәйкестіліктерді қолдана отырып
және ![{ displaystyle sinh ^ {- 1} {x} = ln (x + { sqrt {x ^ {2} +1}}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03c128d3d4baf90e60faf3cd920dd3681c82dd4e)
![{ displaystyle { begin {aligned} int { frac {1} { sqrt {a ^ {2} + x ^ {2}}}} , dx & = int { frac {a cosh u} { sqrt {a ^ {2} + a ^ {2} sinh ^ {2} u}}} , du [6pt] & = int { frac {a cosh {u}} {a { sqrt {1+ sinh ^ {2} {u}}}}} , du [6pt] & = int { frac {a cosh {u}} {a cosh u}} , du [6pt] & = u + C [6pt] & = sinh ^ {- 1} { frac {x} {a}} + C [6pt] & = ln left ( { sqrt {{ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + 1}} + { frac {x} {a}} right) + C [6pt] & = ln солға ({ frac {{ sqrt {x ^ {2} + a ^ {2}}} + x} {a}} оңға) + C соңына {тураланған}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4de72234865476739112fe15f4849d934ebb1622)
Сондай-ақ қараңыз
Математика порталы
Әдебиеттер тізімі