Witt тобы - Witt group

Жылы математика, а Witt тобы а өріс, атындағы Эрнст Витт, болып табылады абель тобы элементтері ұсынылған симметриялы екі түрдегі формалар алаң үстінде.

Анықтама

Өрісті түзету к туралы сипаттамалық екіге тең емес. Бәрі векторлық кеңістіктер шектеулі деп есептеледіөлшемді. Біз жабдықталған екі кеңістік деп айтамыз симметриялы белгісіз формалар болып табылады балама егер бірін екіншісінен а қосу арқылы алуға болады метаболикалық квадраттық кеңістік, яғни а-ның нөлдік немесе одан көп даналары гиперболалық жазықтық, нормасы 0 векторы бар деградацияланбайтын екі өлшемді симметриялы билинер формасы.[1] Әр сынып негізгі формасы а Виттің ыдырауы.[2]

The Witt тобы к бұл абелия тобы W(к) of эквиваленттік сыныптар деградацияланбаған симметриялы билинер формаларының топтық әрекеті сәйкес келеді ортогоналды тікелей қосынды нысандар. Ол бір өлшемді формалардың кластары арқылы аддитивті түрде жасалады.[3] Сыныптар әр түрлі өлшемді кеңістіктерді қамтуы мүмкін болғанымен, өлшем паритеті сынып бойынша тұрақты, сондықтан rk: W(к) → З/2З Бұл гомоморфизм.[4]

Ақырлы элементтер тапсырыс Витт тобында 2-ге тең тапсырыс бар;[5][6] The бұралу кіші тобы болып табылады ядро туралы функционалды картасы W(к) дейін W(кpy), қайда кpy болып табылады Пифагордың жабылуы туралы к;[7] ол арқылы жасалады Pfister формалары бірге квадраттардың нөлдік емес қосындысы.[8] Егер к емес ресми түрде нақты, онда Витт тобы бұралу, бірге көрсеткіш қуаты 2.[9] The биіктігі өріс к Витт тобындағы бұралу көрсеткіші болып табылады, егер бұл шектеулі болса немесе ∞ басқаша болса.[8]

Сақинаның құрылымы

Witt тобы к беруге болады ауыстырғыш сақина пайдалану арқылы құрылымы квадраттық формалардың тензор көбейтіндісі сақина өнімін анықтау үшін. Мұны кейде деп атайды Вит сақинасы W(к), дегенмен «Витт сақинасы» термині көбінесе мүлдем басқа сақина үшін қолданылады Витт-векторлар.

Осы сақинаның құрылымын талқылау үшін біз мынаны болжаймыз к симметриялы қос сызықты және квадраттық формаларды анықтау үшін 2-ге тең емес сипаттама.

Mod 2 гомоморфизм деңгейінің ядросы а негізгі идеал, Мен, Витт сақинасы[4] деп аталады негізгі идеал.[10] The сақиналы гомоморфизмдер бастап W(к) дейін З сәйкес келеді далалық тапсырыс туралы к, қабылдау арқылы қолтаңба тапсырыс бойынша.[10] Витт сақинасы - а Джейкобсон сақинасы.[9] Бұл Ноетриялық сақина егер олар өте көп болса ғана шаршы сыныптар; егер төртбұрыштар болса к а кіші топ ақырлы индекс көбейту тобында к.[11]

Егер к формалды түрде нақты емес, фундаментальды идеал - бұл жалғыз басты идеал W[12] және дәл осыдан тұрады нілпотентті элементтер;[9] W Бұл жергілікті сақина және бар Крул өлшемі 0.[13]

Егер к шынайы болса, онда нілпотентті элементтер дәл шектелген аддитивті тәртіпті құрайды, ал бұл өз кезегінде қолдары нөлге тең болатын формалар;[14] W Krull өлшемі 1 бар.[13]

Егер к нақты Пифагор өрісі содан кейін нөлдік бөлгіштер туралы W кейбір қолтаңба нөлге тең болатын элементтер; әйтпесе, нөлдік бөлгіштер - бұл негізгі идеал.[5][15]

Егер к оң конусы бар реттелген өріс P содан кейін Сильвестрдің инерция заңы квадраттық формаларға арналған к және қолтаңба бастап сақиналы гомоморфизмді анықтайды W(к) дейін З, негізгі идеалмен ҚP. Бұл керемет идеалдар биекция тапсырыспен Xк туралы к және ең төменгі идеалды құрайды спектр MinSpecW(к) of W(к). Биекция а гомеоморфизм арасындағы MinSpecW(к) бірге Зариски топологиясы және тапсырыс жиынтығы Xк бірге Харрисон топологиясы.[16]

The n-негізгі идеалдың үшінші қуатын аддитивті түрде жасайды n-қатысу Pfister формалары.[17]

Мысалдар

Инварианттар

Квадраттық форманың кейбір инварианттарын Витт кластарындағы функциялар ретінде қарастыруға болады. Mod 2 өлшемі сыныптардағы функция екенін көрдік: the дискриминантты жақсы анықталған. The Квадраттық форманың инварианты - тағы да мәні бар Witt сыныптарындағы функциялар Брауэр тобы анықтау өрісінің.[22]

Дәрежелі және дискриминантты

Біз сақинаны анықтаймыз Қ, Q(Қ), жұп жиынтығы ретінде (г., e) бірге г. жылы K */K *2 және e жылы З/2З. Қосу және көбейту анықталады:

Сонда а сурьективті сақиналы гомоморфизм W(Қ) бұған класты дискриминантты және дәрежелік 2-ге салыстыру арқылы алынған. Ядро болып табылады Мен2.[23] Элементтері Q -нің квадраттық кеңейтілуін жіктеу ретінде қарастырылуы мүмкін Қ.[24]

Брауэр – Қабырға тобы

Үштік дискриминант, дәреже мод 2 және Хассе инварианты картаны анықтайды W(Қ) дейін Брауэр – Қабырға тобы BW (Қ).[25]

Жергілікті алқаптың сақинасы

Келіңіздер Қ толық болу жергілікті өріс бағалаумен v, формализатор π және қалдық өрісі к 2-ге тең емес сипаттама инъекция W(к) → W(Қ) диагональды формасын көтеретін ⟨а1,...аn⟩-Ден ⟨сен1,...сенn⟩ Қайда сенмен бірлігі болып табылады Қ кескінмен амен жылы к. Бұл өнім береді

анықтау W(к) оның кескінімен W(Қ).[26]

Сандар өрісінің сақинасы

Келіңіздер Қ болуы а нөмір өрісі. Квадраттық формалар үшін Қ, бар Хассе өзгермейтін Әрқайсысы үшін ± 1 ақырғы орын сәйкес келеді Гильберт белгілері. Форманың сан өрісі бойынша инварианттары дәл өлшем, дискриминанты, барлық жергілікті Hasse инварианттары және қолтаңбалар нақты қондырғылардан келеді.[27]

Біз анықтаймыз белгі сақинасы аяқталды Қ, Sym (Қ), үштік жиынтығы ретінде (г., e, f ) бірге г. жылы K */K *2, e жылы З/ 2 және f орындарымен индекстелген ± 1 элементтерінің тізбегі Қ, барлық шарттардан басқа шарттар сақталады f +1, акомплекс орындарындағы мәні +1 және барлық терминдердің көбейтіндісі f +1. Рұқсат етіңіз [а, б] Гильберт символдарының кезектілігі болуы керек: ол шарттарды қанағаттандырады f жаңа айтылды.[28]

Қосу мен көбейтуді келесідей анықтаймыз:

Содан бастап сурьективті сақина гомоморфизмі бар W(Қ) Sym-ге (Қ) класты дискриминантқа, мод 2 дәрежесіне және Хассе инварианттарының ретін салыстыру арқылы алынған. Ядро Мен3.[29]

Символдық сақина - бұл Brauer-Wall тобының іске асырылуы.[30]

Рационалдың сақинасы

The Хассе-Минковский теоремасы инъекция бар екенін білдіреді[31]

Біз бұл бетонды жасаймыз және кескінді «екінші қалдық гомоморфизмін» қолдану арқылы есептейміз (Qб) → W (Fб). W картасымен жасалған (Q) → W (Qб) біз топтық гомоморфизмді аламыз ∂б: W (Q) → W (Fб) (үшін б = 2 біз define анықтаймыз2 дискриминанттың 2-адикальды бағасы болуы керек, 2).

Бізде сонда бөлу дәл дәйектілік[32]

изоморфизм түрінде жазылуы мүмкін

мұндағы бірінші компонент қолтаңба.[33]

Витт сақинасы және Милнордың К теориясы

Келіңіздер к 2-ге тең емес сипаттама өрісі болу керек. Идеал күштері Мен жұп өлшем формаларының («негізгі идеал») төмендеуін құрайды сүзу және біреу байланысты деп санауы мүмкін дәрежелі сақина, бұл квотенттердің тікелей қосындысы . Келіңіздер квадраттық форма бол Витт сақинасының элементі ретінде қарастырылды. Содан кейін элементі болып табылады Мен және сәйкесінше форманың көбейтіндісі

элементі болып табылады Джон Милнор 1970 жылғы мақалада [34] бастап картаға түсіру дәлелдеді дейін жібереді дейін болып табылады көп сызықты және Штейнберг элементтерін (кейбіреулерге арналған элементтер) бейнелейді және осындай біреуінде бар ) нөлге дейін. Демек, бұл картаға түсіру гомоморфизмді анықтайды Милнор сақинасы туралы к Виттің сақинасына. Милнор сонымен бірге бұл гомоморфизм 2-ге нөлге бөлінетін элементтерді жіберетіндігін және оның прекурсивті екендігін көрсетті. Сол мақалада ол бұл гомоморфизм барлық өрістер үшін изоморфизм деген болжам жасады к (сипаттамасы 2-ден өзгеше). Бұл квадраттық формалар туралы Милнор гипотезасы ретінде белгілі болды.

Бұл болжамды Дмитрий Орлов, Александр Вишик және Владимир Воеводский[35] іс бойынша 1996 ж. (2007 ж. жарияланған) , ерікті өрістер бойынша квадраттық формалардың құрылымын түсінудің артуына әкеледі.

Гротендик-Витт сақинасы

The Гротендик-Витт сақинасы GW - ортогональ қосындымен және тензор көбейтіндісімен көбейту арқылы қосылатын, бір мәнді емес квадрат кеңістіктердің изометрия кластары құратын байланысты құрылыс. Гиперболалық жазықтықпен ерекшеленетін екі кеңістік анықталмағандықтан GW, қосу үшін кері форманы Гротендик ашқан құрылыс арқылы ресми түрде енгізу керек (қараңыз) Гротендик тобы ). Табиғи гомоморфизм бар GWЗ өлшем бойынша берілген: өріс квадрат жабық егер бұл тек изоморфизм болса ғана.[18] Гиперболалық кеңістіктер идеал тудырады GW және Витт қоңырауы W бөлу.[36] The сыртқы қуат Grothendieck-Witt сақинасына а-ның қосымша құрылымын береді ring-сақина.[37]

Мысалдар

  • Гротендик-Витт сақинасы C, және кез келген алгебралық жабық өріс немесе квадрат жабық өріс, болып табылады З.[18]
  • Гротендик-Витт сақинасы R топ сақинасына изоморфты болып келеді З[C2], қайда C2 - бұл 2 ретті циклдік топ.[18]
  • Тақ сипаттаманың кез-келген ақырлы өрісінің Гротендик-Витт сақинасы болып табылады ЗЗ/2З екінші компоненттегі тривиальды көбейту арқылы.[38] (1, 0) элементі ⟨квадрат түріне сәйкес келедіа⟩ Қайда а ақырлы өрістегі квадрат емес.
  • Жергілікті өрістің Гротендик-Витт сақинасы максималды идеал 1 модульге 4 сәйкес келеді, изоморфты З ⊕ (З/2З)3.[20]
  • Жергілікті өрістің Гротендик-Витт сақинасы, оның максималды идеалы 3 модульге сәйкес келеді 4 Z 'З/4ЗЗ/2З.[20]

Гротендик-Витт сақинасы және сфералардың мотивті тұрақты гомотопиялық топтары

Фабиен Морель[39][40] а-ның Гротендик-Витт сақинасы екенін көрсетті тамаша өріс сфералардың мотивті тұрақты гомотопиялық тобына изоморфты болып табылады0,0(С.0,0) (қараңыз «A гомотопия теориясы ").

Виттің эквиваленттілігі

Екі өріс деп айтылады Witt баламасы егер олардың Витт сақиналары изоморфты болса.

Жаһандық өрістер үшін локальдан глобалға деген қағида бар: екі ғаламдық өріс Виттің эквиваленті болып табылады, егер олардың орындары арасында тиісті жергілікті өрістер Витт эквиваленті болатын болса ғана.[41] Атап айтқанда, екі өріс Қ және L егер битиг болған жағдайда ғана Виттің баламасы болып табылады Т орындарының арасында Қ және орындары L және топтық изоморфизм т олардың арасында квадрат класты топтар, 2 дәрежелі Гильберт белгілерін сақтау. Бұл жағдайда жұп (Т, т) а деп аталады өзара эквиваленттілік немесе а 2 дәреже Гильберт эквиваленттілігі.[42] Осы шарттың кейбір вариациялары мен кеңейтімдері, мысалы «дәреже дәрежесі л Гильберт символының эквиваленттілігі »тақырыбында зерттелген.[43]

Жалпылау

Witt топтарын дәл осылай анықтауға болады қиғаш симметриялық формалар, және үшін квадраттық формалар және жалпы түрде ε-квадраттық формалар, кез-келгенінен артық * ринг R.

Алынған топтар (және оларды жалпылау) біркелкі симметриялы деп аталады L-топтар L2к(R) және бір өлшемді квадраттық L-топтар L2к(R). Квадраттық L-топтар 4 периодты, бірге L0(R) (1) -квадраттық формалардың Витт тобы (симметриялы), және L2(R(t1) -квадраттық формалардың Витт тобы болу (қисықтық-симметриялы); симметриялы L-топтар барлық сақиналар үшін 4 периодты емес, сондықтан олар дәлірек жалпылама береді.

L-топтар - бұл орталық объектілер хирургия теориясы, үш мүшесінің бірін құрайтын хирургияның дәл кезектілігі.

Сондай-ақ қараңыз

Ескертулер

  1. ^ Milnor & Husemoller (1973) б. 14
  2. ^ Лоренц (2008) б. 30
  3. ^ Milnor & Husemoller (1973) б. 65
  4. ^ а б Milnor & Husemoller (1973) б. 66
  5. ^ а б Лоренц (2008) б. 37
  6. ^ Milnor & Husemoller (1973) б. 72
  7. ^ Лам (2005) б. 260
  8. ^ а б Лам (2005) б. 395
  9. ^ а б c Лоренц (2008) б. 35
  10. ^ а б Лоренц (2008) б. 31
  11. ^ Лам (2005) б. 32
  12. ^ Лоренц (2008) б. 33
  13. ^ а б Лам (2005) б. 280
  14. ^ Лоренц (2008) б. 36
  15. ^ Лам (2005) б. 282
  16. ^ Лам (2005) 277–280 бб
  17. ^ Лам (2005) с.316
  18. ^ а б c г. e Лам (2005) б. 34
  19. ^ Лам (2005) с.37
  20. ^ а б c г. Лам (2005) с.152
  21. ^ Лам (2005) с.166
  22. ^ Лам (2005) с.119
  23. ^ Conner & Perlis (1984) 12-бет
  24. ^ Лам (2005) с.113
  25. ^ Лам (2005) с.117
  26. ^ Гарибальди, Меркуржев және Серре (2003) б.64
  27. ^ Conner & Perlis (1984) б.16
  28. ^ Conner & Perlis (1984) б.16-17
  29. ^ Conner & Perlis (1984) б.18
  30. ^ Лам (2005) с.116
  31. ^ Лам (2005) с.174
  32. ^ Лам (2005) с.175
  33. ^ Лам (2005) с.178
  34. ^ Милнор, Джон Уиллард (1970), «Алгебралық теория және квадраттық формалар», Mathematicae өнертабыстары, 9 (4): 318–344, дои:10.1007 / BF01425486, ISSN  0020-9910, МЫРЗА  0260844
  35. ^ Орлов, Дмитрий; Вишик, Александр; Воеводский, Владимир (2007), «Нақты дәйектілік Қ*М/2 квадраттық формаларға қосымшалармен », Математика жылнамалары, 165 (1): 1–13, arXiv:математика / 0101023, дои:10.4007 / жылнамалар.2007.165.1
  36. ^ Лам (2005) б. 28
  37. ^ Гарибальди, Меркуржев және Серре (2003) б.63
  38. ^ Лам (2005) с.36, теорема 3.5
  39. ^ , Мотивті тұрақты On0 сфералық спектр, In: Аксиоматикалық, байытылған және мотивті гомотопия теориясы, 219–260 бб, J.P.C. Гринлис (ред.), 2004 Kluwer Academic Publishers.
  40. ^ Фабиен Морель, A1- Өріс бойынша алгебралық топология. Математикадағы дәріс жазбалары 2052, Springer Verlag, 2012.
  41. ^ Перлис, Р .; Шимичек, К .; Коннер, П.Е .; Litherland, R. (1994). «Ғаламдық өрістермен сәйкестендіру». Джейкобта Уильям Б. т.б. (ред.). Нақты алгебралық геометрия мен квадраттық формалардың соңғы жетістіктері. Contemp. Математика. 155. Провиденс, RI: Американдық математикалық қоғам. 365–387 беттер. ISBN  0-8218-5154-3. Zbl  0807.11024.
  42. ^ Шимичек, Казимерц (1997). «Гильберт-сан өрістерінің эквиваленттілігі». Tatra Mt. Математика. Publ. 11: 7–16. Zbl  0978.11012.
  43. ^ Czogała, A. (1999). «Гильберттің жоғары дәрежелі-сандық өрістердің эквиваленттілігі». Абх. Математика. Сем. Унив. Гамбург. 69: 175–185. дои:10.1007 / bf02940871. Zbl  0968.11038.

Әдебиеттер тізімі

Әрі қарай оқу

Сыртқы сілтемелер