XTR - XTR - Wikipedia

Жылы криптография, XTR болып табылады алгоритм үшін ашық кілтпен шифрлау. XTR «ECSTR» дегенді білдіреді, бұл тиімді және ықшам топшалардың ізін ұсынудың аббревиатурасы. Бұл мультипликативтің кіші тобының элементтерін ұсыну әдісі топ а ақырлы өріс. Ол үшін ол қолданылады із аяқталды кіші тобының элементтерін көрсету үшін .

Қауіпсіздік тұрғысынан XTR шешу қиындықтарына сүйенеді Дискретті логарифм ақырлы өрістің толық мультипликативті тобындағы байланысты есептер. Шекті өрістің толық мультипликативті тобының генераторына негізделген көптеген криптографиялық протоколдардан айырмашылығы, XTR генераторды пайдаланады кейбір қарапайым ретті салыстырмалы түрде кіші топтың кіші тобының . Дұрыс таңдауымен , топта Дискретті Логарифмдерді есептеу , жалпы алғанда, қаншалықты қиын болса және XTR қолдану криптографиялық қосымшалары толығымен жету кезінде арифметика байланыста және айтарлықтай үнемдеуге әкелетін қауіпсіздік есептеу үстеме ақысы қауіпсіздікті бұзбай. XTR-дің тағы бір артықшылығы - жылдам пернелер генерациясы, кілттердің кіші өлшемдері және жылдамдығы.

XTR негіздері

XTR а кіші топ, әдетте деп аталады XTR кіші тобы немесе жай XTR тобы, деп аталатын кіші топтың XTR супертоп, а-ның мультипликативті тобының ақырлы өріс бірге элементтер. XTR супер тобы тәртіпке сай , қайда б жай қарапайым, сондықтан жеткілікті үлкен q бөледі . XTR кіші тобында тапсырыс бар q және кіші тобы ретінде , а циклдік топ бірге генератор ж. Келесі үш абзацта XTR супер тобының элементтерін элементінің орнына және арифметикалық амалдар қалай жүреді in орнына .

Арифметикалық амалдар

Келіңіздер б ең жақсы болу б ≡ 2 мод 3 және б2 - p + 1 жеткілікті үлкен жай факторға ие q. Бастап б2 ≡ 1 мод 3 біз мұны көріп отырмыз б генерациялайды және осылайша үшінші циклотомдық көпмүшелікболып табылады қысқартылмайтын аяқталды . Бұдан шығатыны тамырлар және оңтайлы қалыптастыру қалыпты негіз үшін аяқталды және

Мұны ескере отырып б2 мод 3 біз модуль бойынша көрсеткіштерді азайта аламыз 3 алу

Арифметикалық амалдардың құны енді келесі Леммада келтірілген, Lemma 2.21 дюймінде «XTR ашық кілт жүйесіне шолу»:[1]

Лемма

  • Есептеу хб көбейтуді қолданбай орындалады
  • Есептеу х2 екі көбейтуді алады
  • Есептеу xy үш көбейтуді алады
  • Есептеу xz-yzб төрт көбейтуді алады .

Іздер аяқталды

The із XTR-де әрдайым аяқталған деп саналады . Басқаша айтқанда конъюгаттар туралы аяқталды болып табылады және және ізі олардың қосындысы:

Ескертіп қой бері

Енді генераторды қарастырайық қарапайым тапсырыстың XTR кіші тобының . Мұны есте сақтаңыз - бұл тапсырыс XTR супер тобының кіші тобы , сондықтан . Ішінде келесі бөлім біз қалай таңдау керектігін көреміз және , бірақ әзірге бұл туралы ойлау жеткілікті . Ізін есептеу үшін модульге назар аударыңыз Бізде бар

және

және осылайша

Конъюгаттарының көбейтіндісі тең , яғни бар норма 1.

XTR-дегі маңызды бақылау - бұл минималды көпмүшелік туралы аяқталды

жеңілдетеді

толығымен анықталады . Демек, -ның конъюгаттары , минималды көпмүшесінің түбірлері ретінде аяқталды , ізімен толығымен анықталады . Сол сияқты кез-келген күшке қатысты : конъюгаттары көпмүшенің түбірлері

және бұл көпмүше толығымен анықталады .

Іздерді қолдану идеясы - ауыстыру криптографиялық хаттамаларда, мысалы. The Диффи-Хеллман кілттерімен алмасу арқылы және, осылайша, өкілдік көлемінің 3 кішірею факторын алу. Бұл, егер алудың жылдам әдісі болса ғана пайдалы берілген . Келесі абзацта тиімді есептеу алгоритмі келтірілген . Сонымен қатар, есептеу берілген есептеуден гөрі жылдам болып шығады берілген .[1]

Жылдам есептеу алгоритмі берілген

Бұл алгоритмді А.Ленстра мен Э.Верхеул өздерінің мақалаларында келтіреді XTR ашық кілт жүйесі жылы.[2] Алгоритмге және алгоритмнің өзіне қажетті барлық анықтамалар мен леммалар осы қағаздан алынған.

Анықтама C in үшін анықтау

Анықтама Келіңіздер түбірлерін міндетті емес айыру тамырларын белгілеңіз жылы және рұқсат етіңіз болу . Анықтаңыз

Қасиеттері және

  1. Не бәрі бөлу тәртібі бар және немесе барлығы бар . Сондай-ақ, егер оның тамырында рет-ретімен сүңгу болса ғана, оны азайтуға болмайды және .
  2. төмендейді егер және егер болса

Лемма Келіңіздер берілсін.

  1. Есептеу екі көбейтуді алады .
  2. Есептеу төрт көбейтуді алады .
  3. Есептеу төрт көбейтуді алады .
  4. Есептеу төрт көбейтуді алады .

Анықтама Келіңіздер .

Есептеуге арналған 1-алгоритм берілген және

  • Егер осы алгоритмді қолданыңыз және , және алынған мәнге 2-сипатты қолданыңыз.
  • Егер , содан кейін .
  • Егер , содан кейін .
  • Егер , есептеуін қолданыңыз және табу және сол арқылы .
  • Егер , есептеу үшін анықтау
және егер n тақ болса және басқаша. Келіңіздер және есептеу Лемманы жоғарыда және . Әрі қарай
бірге және . Үшін қатарынан келесі әрекеттерді орындаңыз:
  • Егер , қолданыңыз есептеу .
  • Егер , қолданыңыз есептеу .
  • Ауыстыру арқылы .

Осы қайталанулар аяқталғаннан кейін, және . Егер n тіпті қолданылады есептеу .

Параметрді таңдау

Өрісті және топшаның ақырғы өлшемін таңдау

Жоғарыда сипатталған элементтердің іздерін көрсететін ұсыныстардың артықшылықтарын пайдалану және сонымен бірге жеткілікті қауіпсіздікті қамтамасыз ету үшін бұл талқыланады төменде, біз жай бөлшектерді табуымыз керек және , қайда дегенді білдіреді сипаттамалық өріс бірге және кіші топтың өлшемі болып табылады бөледі .

Біз деп белгілейміз және өлшемдері және битпен Қауіпсіздікті 1024-битпен салыстыруға болады RSA, біз таңдауымыз керек шамамен 1024, яғни және шамамен 160 болуы мүмкін.

Мұндай жай бөлшектерді есептеудің алғашқы қарапайым алгоритмі және келесі А алгоритмі:

Алгоритм A

  1. Табыңыз осындай Бұл -bit prime.
  2. Табыңыз осындай Бұл -bit prime бірге .
Алгоритмнің дұрыстығы:
Мұны тексеру керек өйткені барлық басқа қажетті қасиеттер анықтамаға сәйкес қанағаттандырылады және . Біз мұны оңай көреміз мұны білдіреді .

Алгоритмі өте жылдам және жай бөлшектерді табуға болады кіші коэффициенттермен екі дәрежелі көпмүшені қанағаттандыратын Мұндай жылдам арифметикалық амалдарға әкеледі . Атап айтқанда, егер іздеу болса шектелген іздеу дегенді білдіреді екеуі де қарапайым және солай , жай бөлшектер бұл жағымды формаға ие болыңыз тең және болуы керек .

Екінші жағынан, мұндай қауіпсіздік тұрғысынан жағымсыз болуы мүмкін, өйткені олар шабуыл жасай алады Дискретті логарифм нұсқасы Өріс елеуіші Жеңілірек.

Келесі В алгоритмінде мұндай кемшіліктер жоқ, бірақ сонымен бірге жылдам арифметикалық модуль жоқ Алгоритм А бұл жағдайда бар.

Алгоритм B

  1. A таңдаңыз -bit prime сондай-ақ .
  2. Тамырын табыңыз және туралы .
  3. А табыңыз осындай Бұл -bit prime бірге үшін
Алгоритмнің дұрыстығы:
Біз таңдағандықтан бұл бірден пайда болады (өйткені және ). Осыдан және квадраттық өзара қатынас біз мұны шығара аламыз және бар.
Мұны тексеру үшін біз тағы да қарастырамыз үшін және оны ал , бері және тамырлары және демек .

Ішкі топты таңдау

Соңғы параграфта біз өлшемдерді таңдадық және ақырлы өрістің және мультипликативті кіші тобы , енді біз кіші топты табуымыз керек туралы кейбіреулер үшін осындай .

Алайда, бізге нақты анықтама қажет емес , элементті табу жеткілікті осындай элемент үшін тәртіп . Бірақ, берілген , генератор кез-келген түбірін анықтау арқылы XTR (sub) тобын табуға болады ол анықталды жоғарыда. Мұндай а біз 5-нің қасиетін қарастыра аламыз Мұнда тамыры екенін білдірді бұйрықты бөлу егер және егер болса болып табылады қысқартылмайтын. Осындайды тапқаннан кейін біз оның шынымен тәртіпте екенін тексеруіміз керек , бірақ алдымен біз қалай таңдау керек екеніне назар аударамыз осындай қысқартылмайды.

Бастапқы тәсіл таңдау болып табылады кездейсоқ, ол келесі леммамен негізделген.

Лемма: Кездейсоқ таңдалған үшін ықтималдығы кемітілмейтіні - шамамен үштен бірі.

Енді қолайлы алгоритмді табуға болады келесідей:

Алгоритмнің құрылымы

  1. Кездейсоқ таңдау .
  2. Егер қалпына келтіріледі, содан кейін 1-қадамға оралыңыз.
  3. Есептеу үшін 1-алгоритмді қолданыңыз .
  4. Егер тәртіп емес , 1-қадамға оралыңыз.
  5. Келіңіздер .

Бұл алгоритм шынымен де элементін есептейді екен бұл тең кейбіреулер үшін тәртіп .

Алгоритм туралы, оның дұрыстығы, орындалу уақыты және лемманың дәлелі туралы толығырақ білуге ​​болады «XTR ашық кілт жүйесіне шолу» жылы.[1]

Криптографиялық схемалар

Бұл бөлімде элементтердің іздерін қолдана отырып, жоғарыдағы ұғымдарды криптографияға қалай қолдануға болатындығы түсіндіріледі. Жалпы, XTR дискретті логарифм мәселесіне (кіші топ) сенетін кез келген криптожүйеде қолданыла алады. XTR екі маңызды қосымшасы болып табылады Диффи-Хеллман келісімі және ElGamal шифрлау. Біз алдымен Диффи-Хеллманнан бастаймыз.

XTR-DH кілті келісімі

Біздің ойымызша, екеуі де Алиса және Боб XTR қол жетімді ашық кілт деректер және а туралы келісуге ниетті ортақ құпия кілт . Олар мұны Diffie-Hellman кілттер алмасуының келесі XTR нұсқасын қолдану арқылы орындай алады:

  1. Элис таңдайды кездейсоқ , есептейді 1-алгоритм және жібереді Бобқа.
  2. Боб алады Алисадан кездейсоқ таңдайды бірге , есептеу үшін 1-алгоритмді қолданады және жібереді Алисаға.
  3. Алиса алады Бобтан, 1-алгоритммен есептейді және анықтайды негізделген .
  4. Боб есептеу үшін 1-алгоритмді қолданады және де анықтайды негізделген .

XG ElGamal шифрлауы

ElGamal шифрлауы үшін қазір Алиса XTR ашық кілттерінің иесі болып табылады деп ойлаймыз және оның құпияны таңдағаны бүтін , есептелген және нәтижені жариялады.Алистің XTR ашық кілтінің деректерін берді , Боб хабарламаны шифрлай алады , ElGamal шифрлауының келесі XTR нұсқасын қолдана отырып, Алиске арналған:

  1. Боб кездейсоқ таңдайды a бірге және есептейді 1-алгоритм .
  2. Бұдан әрі Боб есептеу үшін 1-алгоритмді қолданады .
  3. Боб симметриялы шифрлау кілтін анықтайды негізделген .
  4. Боб келісілген симметриялық шифрлау әдісін кілтпен қолданады оның хабарламасын шифрлау үшін , нәтижесінде шифрлау .
  5. Боб жібереді Алисаға.

Алғаннан кейін , Алиса хабарламаның кодын келесідей ашады:

  1. Элис есептейді .
  2. Алиса симметриялық кілтті анықтайды негізделген .
  3. Элис келісілген симметриялық шифрлау әдісін кілтпен қолданады шифрын ашу , нәтижесінде түпнұсқа хабарлама шығады .

Мұнда сипатталған шифрлау схемасы жалпыға негізделген гибридті құпия кілт болатын ElGamal шифрлау нұсқасы арқылы алынады асимметриялық ашық кілт жүйесі, содан кейін хабарлама а-мен шифрланады симметриялық кілт шифрлау әдісі Алис пен Боб келіскен.

Неғұрлым дәстүрлі ElGamal шифрлауында хабарлама кілт кеңістігімен шектелген, ол мұнда болады , өйткені . Бұл жағдайда шифрлау хабарламаның кілтпен көбейтілуі болып табылады, бұл кілттер кеңістігінде аударылатын амал .

Бұл Бобтың хабарламаны шифрлауды қалайтындығын білдіреді , алдымен ол оны элементке айналдыруы керек туралы содан кейін шифрланған хабарламаны есептеңіз сияқты .Шифрланған хабарламаны алғаннан кейін Алиса бастапқы хабарды қалпына келтіре алады есептеу арқылы , қайда дегенге кері болып табылады жылы .

Қауіпсіздік

Қауіпсіздік қасиеттері туралы бір нәрсе айту үшін жоғарыда XTR-ді шифрлау схемасын түсіндірді, алдымен XTR тобының қауіпсіздігін тексеру маңызды, демек, оны шешу қаншалықты қиын Логарифмнің дискретті есебі Ана жерде. Келесі бөлімде элементтердің іздерін ғана қолданатын ХТР тобындағы Дискретті логарифм есебі мен дискретті логарифм есебінің ХТР нұсқасы арасындағы эквиваленттілік баяндалады.

Жалпы дискретті логарифмдер

Енді рұқсат етіңіз ретті мультипликативті топ болу . Қауіпсіздігі Диффи-Хеллман хаттамасы жылы дегенге сүйенеді Диффи-Хеллман (DH) проблема есептеу . Біз жазамыз DH проблемасына қатысты тағы екі мәселе бар. Біріншісі Диффи-Хеллман шешімі (DHD) проблема екенін анықтау үшін берілген үшін ал екіншісі - Дискретті логарифм (DL) проблемасы табу берілген үшін .

DL мәселесі, ең болмағанда, DH проблемасы сияқты қиын және егер DL мәселесі болса, онда бұл әдетте шешілмейтін болса, қалған екеуі де солай.

Берілген қарапайым факторизация туралы DL мәселесі барлық кіші топтарындағы DL проблемасына дейін азайтылуы мүмкін байланысты негізгі тапсырыспен Похлиг-Хеллман алгоритмі. Демек қауіпсіз деп санауға болады.

Ішкі топ үшін бірінші дәрежелі тапсырыс мультипликативті топ кеңейту өрісінің туралы кейбіреулер үшін , енді жүйеге шабуыл жасаудың екі әдісі бар. Барлық мультипликативті топқа немесе кіші топқа назар аударуға болады. Мультипликативті топқа шабуыл жасау үшін ең танымал әдіс - дискретті логарифм нұсқасы Өріс елеуіші немесе балама топта бірнеше әдістердің бірін қолдануға болады операциялар , сияқты Поллардтың rho әдісі.

Екі тәсіл үшін де DL проблемасының қиындығы минималды қоршау көлеміне байланысты және оның бірінші реттік мөлшері бойынша . Егер өзі минималды қоршаған орта болып табылады және жеткілікті үлкен, содан кейін DL проблемасы жалпы DL проблемасы сияқты қиын .

XTR параметрлері енді осылай таңдалады кішкентай емес, жеткілікті үлкен және нақты ішкі өрісіне ендіруге болмайды , бері және бөлгіш болып табылады , бірақ ол бөлінбейді және осылайша кіші тобы бола алмайды үшін Бұдан шығатыны, XTR тобындағы DL мәселесі, егер DL мәселесі болса, соншалықты қиын болуы мүмкін .

XTR қауіпсіздігі

Дискретті логарифмдерге негізделген криптографиялық хаттамалар көптеген кіші топтардың түрлерін қолдана алады. эллиптикалық қисықтар немесе XTR тобы сияқты ақырлы өрістің мультипликативті тобының кіші топтары.Диффи-Геллман және Эльгамал шифрлау протоколының XTR нұсқаларында жоғарыда айтылғандай XTR тобының элементтерін олардың іздерін қолдану арқылы ауыстырамыз. Бұл дегеніміз, осы шифрлау схемаларының XTR нұсқаларының қауіпсіздігі енді DH, DHD немесе DL проблемаларына негізделмейді. Сондықтан сол есептердің XTR нұсқаларын анықтау керек және олардың бастапқы есептермен баламасы (келесі анықтама мағынасында) екенін көреміз.

Анықтамалар:

  • Біз анықтаймыз XTR-DH есептеулер проблемасы ретінде берілген және және біз жазамыз .
  • The XTR-DHD мәселе - бұл анықтаудың проблемасы үшін .
  • Берілген , XTR-DL мәселе табу , яғни осындай .
  • Біз бұл проблеманы айтамыз болып табылады (а, b) -есепке тең , егер қандай да бір проблема болса (немесе ) мәселені шешудің алгоритміне көп дегенде а (немесе) шақырулар арқылы шешуге болады (немесе ).

Осы есептердің XTR нұсқаларын енгізгеннен кейін келесі теорема XTR мен XTR емес мәселелер арасындағы байланысты түсіндіретін маңызды нәтиже болып табылады, олар шын мәнінде эквивалентті болып табылады. Бұл элементтердің XTR-ді олардың іздерімен бейнелеуі, жоғарыда көрініп тұрғандай, қауіпсіздікті бұзбай, әдеттегі көрініске қарағанда 3 есе жылдамырақ болатындығын білдіреді.

Теорема Келесі баламалар орындалады:

мен. The XTR-DL есеп (1,1) -ге тең DL проблема .
II. The XTR-DH есеп (1,2) -ге тең DH проблема .
III. The XTR-DHD есеп (3,2) -ге тең DHD проблема .

Бұл XTR-DL, XTR-DH немесе XTR-DHD-ді ескермейтін ықтималдылықпен шешетін алгоритмді XTR-ге сәйкес келмейтін DL, DH немесе DHD есептерін шешудің алгоритміне айналдыруға болатындығын және керісінше емес екенін білдіреді. Атап айтқанда II. кіші XTR-DH кілтін анықтайтындығын білдіреді (элементі бола отырып ) DH кілтін анықтау сияқты қиын (элементі бола отырып ) өкілдік топта .

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ а б c Ленстра, Арьен К .; Верхеул, Эрик Р. «XTR ашық кілт жүйесіне шолу» (PDF). CiteSeerX  10.1.1.104.2847. Архивтелген түпнұсқа (PDF) 15 сәуірде 2006 ж. Алынған 2008-03-22. Журналға сілтеме жасау қажет | журнал = (Көмектесіңдер)
  2. ^ Ленстра, Арьен К .; Verheul, Eric R. «XTR ашық кілт жүйесі». CiteSeerX  10.1.1.95.4291. Журналға сілтеме жасау қажет | журнал = (Көмектесіңдер)