Паскаль пирамидасы - Pascals pyramid - Wikipedia

Паскаль пирамидасының алғашқы бес қабаты

Жылы математика, Паскаль пирамидасы - коэффициенті болатын үш өлшемді сандардың үш өлшемді орналасуы триномиялық кеңею және триномиялық таралу.[1] Паскаль пирамидасы - екі өлшемділіктің үш өлшемді аналогы Паскаль үшбұрышы, құрамында биномдық сандар бар және биномдық кеңейту және биномдық тарату. Биномдық және триномдық сандар, коэффициенттер, кеңею және үлестірулер - көпфункционалды құрылымдардың бірдей аттары бар ішкі жиындары.

Тетраэдрдің құрылымы

Себебі тетраэдр бұл үш өлшемді объект, оны қағазға, компьютер экранына немесе басқа екі өлшемді ортаға шығару қиын. Тетраэдр бірқатар деңгейлерге, қабаттарға немесе тілімдерге немесе қабаттарға бөлінеді деп есептейік. Жоғарғы қабат (шың) «0-қабат» деп белгіленген. Басқа қабаттарды тетраэдрдің алдыңғы қабаттары жойылған үстіңгі көріністері деп санауға болады. Алғашқы алты қабат келесідей:

0 қабат
1
1 қабат
11
1
2 қабат
121
22
1
3 қабат
1331
363
33
1
4 қабат
14641
412124
6126
44
1
5 қабат
15101051
52030205
10303010
102010
55
1

Тетраэдрдің қабаттары тетраэдрді Паскаль үшбұрышымен шатастырмас үшін төмен қарай көрсетілгендей етіп көрсетілген.

Тетраэдрге шолу

  • Әр қабатта сандардың үш жақты симметриясы бар.
  • Ішіндегі терминдер саны nмың Қабат - (n+1)мың үшбұрышты сан: .
  • Ішіндегі сандардың мәндерінің қосындысы nмың Қабат 3n.
  • Кез-келген қабаттағы әрбір сан - жоғарыдағы қабаттағы үш көрші санның қосындысы.
  • Кез келген қабаттағы әр сан - сол қабаттағы көрші сандардың қарапайым бүтін сандық қатынасы.
  • Кез-келген қабаттағы әрбір сан Триномиалды үлестіру коэффициенті және триномиальді кеңею болып табылады. Бұл сызықтық емес тәртіп:
    • триномдық кеңеюді дәйекті түрде көрсету;
    • Trinomial Distribution коэффициенттерін есептеу;
    • кез-келген тетраэдр қабатының сандарын есептеу.
  • Үш шеті бойындағы сандар nмың Қабат - сандарының сандары nмың Паскаль үшбұрышының сызығы. Жоғарыда аталған қасиеттердің барлығы дерлік Паскаль үшбұрышымен және көпмүшелік коэффициенттерімен параллельді.

Триномиялық кеңейту байланысы

Тетраэдрдің сандары триномдық кеңеуден алынған. The nмың қабат - триномиальды өрнектің бөлінген коэффициент матрицасы (айнымалысы немесе көрсеткіші жоқ) (мысалы: A + B + C) дейін көтерілді nмың күш. Триномияның n-ші қуаты триномияны бірнеше рет көбейту арқылы кеңейеді:

(A + B + C)1 × (A + B + C)n = (A + B + C)n+1

Бірінші өрнектегі әрбір мүше екінші өрнектегі әр мүшеге көбейтіледі; содан кейін ұқсас терминдердің коэффициенттері (бірдей айнымалылар мен дәрежелер) қосылады. Мұнда (A + B + C)4:

1A4B0C0 + 4A3B0C1 + 6A2B0C2 + 4A1B0C3 + 1A0B0C4 +

4A3B1C0 + 12A2B1C1 + 12A1B1C2 + 4A0B1C3 +
6A2B2C0 + 12A1B2C1 + 6A0B2C2 +
4A1B3C0 + 4A0B3C1 +

1A0B4C0    

Кеңейтуді сызықтық емес түрде жазу кеңейтуді неғұрлым түсінікті етіп көрсетеді. Ол сонымен қатар тетраэдрмен байланысты айқын етеді − коэффициенттер 4 қабаттың деңгейіне сәйкес келеді. Әдетте жазылмаған барлық жасырын коэффициенттер, айнымалылар және көрсеткіштер тетраэдрмен тағы бір қатынасты бейнелейтін етіп көрсетілген. (Әдетте, «1A«болып табылады»A"; "B1«болып табылады»B«; және »C0«-» 1 «; т.б.) Әрбір терминнің көрсеткіштері қабат санына қосылады (n) немесе 4, бұл жағдайда. Біршама маңызды, әр тоқсанның коэффициенттерінің мәні тікелей көрсеткіштерден есептелуі мүмкін. Формула: (x + y + z)! / (х! × ж! × з!), қайда x, y, z болып табылады A, B, C, сәйкесінше және «!» факториалды білдіреді (мысалы: n! = 1 × 2 × ⋯ × n). 4-қабаттың дәрежелік формулалары:

Әрбір кеңею мүшесінің көрсеткіштері айқын көрінеді және бұл формулалар кеңею коэффициенттеріне және 4 қабаттың тетраэдр коэффициенттеріне дейін жеңілдейді.

Триномиалды үлестіру байланысы

Тетраэдрдің сандарын Триномиялық таралуда да табуға болады. Бұл ықтималдықтың дискретті үлестірімі, мүмкін үш нәтиже болған жағдайда, оқиғалардың кейбір комбинациясының пайда болу ықтималдығын анықтауға мүмкіндік береді - оқиғалар болуы мүмкін тәсілдердің саны олардың туындау ықтималдығына көбейтіледі. Триномиялық таралудың формуласы:

[ n! / ( х! × ж! × з!)] × [(СA)х × (PB)ж × (PC)з]

қайда x, y, z үш нәтиженің әрқайсысының пайда болу саны; n - сынақтар саны және қосындысына тең x + y + z; және PA, PB, PC үш оқиғаның әрқайсысының пайда болу ықтималдығы.

Мысалы, үш жақты сайлауда үміткерлер келесі дауыстарға ие болды: А, 16%; B, 30%; C, 54%. Кездейсоқ таңдалған төрт адамнан тұратын фокус-топтың құрамында келесі сайлаушылар болу мүмкіндігі қандай: 1-ге А, 1-ге С, 2-ге? Жауап:

[ 4! / ( 1! × 1! × 2!) ] × [ (16%)1 × (30%)1 × (54%)2] = 12 × 0.0140 = 17%

12 саны - бұл ықтималдық коэффициенті және бұл «112» фокус-тобын толтыра алатын комбинациялар саны. Төрт адамнан тұратын фокустық топтардың 15 түрлі келісімдері бар. Осы 15 коэффициенттің өрнектері:

Бұл бөлшектердің нумераторы (түзудің үстінде) барлық өрнектер үшін бірдей. Бұл − төрт адамнан тұратын топ − өлшемі және бұл келісімдердің коэффициенттерін Тетраэдрдің 4 қабатынан табуға болатындығын көрсетеді. Бөлгіштің үш саны (жолдың астында) сәйкесінше A, B, C үшін дауыс берген фокустық топ мүшелерінің саны болып табылады.

Стенография әдетте комбинаторлық функцияларды келесі «таңдау» форматында өрнектеу үшін қолданылады (оны «4 таңдау 4, 0, 0» және т.б. оқылады).

Бірақ бұл өрнектің мәні әлі де Тетраэдрдің 4-ші қабатының коэффициенттеріне тең. Олар үлгінің мөлшерін өзгерту арқылы кез-келген қабатқа жалпылануы мүмкін (n).

Бұл жазба қабаттың барлық коэффициенттерінің қосындысын өрнектеудің оңай әдісін ұсынады n:

= 3n.

Қабаттар арасындағы коэффициенттерді қосу

Әр қабаттағы сандар (nТетраэдр - бұл қабаттағы үш іргелес санның қосындысы (nAbove1) оның «үстінде». Бұл қатынасты қабаттарды араластырмай көру қиын. Төменде көлбеу 3-қабат арасында қабаттасады қалың 4-қабат:

14641
1331
412124
363
6126
33
44
1
1

Қарым-қатынасты 4-қабаттың төменгі, орталық нөмірі 12 суреттейді. Ол 3 қабаттың үш санымен «қоршалған»: 6 «солтүстікке», 3 «оңтүстік-батысқа», 3 «оңтүстік-шығысқа». (Шет бойындағы сандарда «жоғарыда» қабатта тек екі іргелес сандар бар, ал үш бұрыштық сандарда жоғарыда тек бір іргелес нөмірлер болады, сондықтан олар әрдайым «1» болып табылады. Жетіспейтін сандар «деп қабылдануы мүмкін» 0 «, сондықтан жалпылық жоғалмайды.) Көрші қабаттар арасындағы бұл байланыс сиқырлы кездейсоқтық емес. Керісінше, бұл екі сатылы триномиалды кеңейту процесі арқылы жүреді.

Осы мысалды жалғастыра отырып, 1-қадамда (A + B + C)3 әрбір мүшесіне көбейтіледіA + B + C)1. Осы көбейтудің тек үшеуі ғана осы мысалда қызығушылық тудырады:

3 қабатКөбейтуӨнімнің мерзімі
6A1B1C11B16A1B2C1
3A1B2C01C13A1B2C1
3A0B2C11A13A1B2C1

(Ұқсас айнымалыларды көбейту көрсеткіштердің қосылуын тудырады; мысалы: Д.1 × Д.2 = Д.3.)

Содан кейін, 2-қадамда ұқсас терминдердің қосындысы (бірдей айнымалылар мен дәрежелер) нәтижеге келеді: 12A1B2C1, бұл (A + B + C)4; ал 12 - Тетраэдрдің 4-ші қабатының коэффициенті.

Символдық тұрғыдан аддитивті қатынасты келесі түрде білдіруге болады:

C (x, y, z) = C (х−1, y, z) + C (х, у−1, z) + C (x, y, z−1)

қайда C (x, y, z) - бұл көрсеткіштермен терминнің коэффициенті x, y, z және Тетраэдр қабаты.

Бұл қатынас триномиалық кеңею «триномдық кеңейту байланысы» бөлімінде көрсетілгендей сызықтық емес түрде салынған жағдайда ғана жұмыс істейді.

Бір қабаттағы коэффициенттер арасындағы қатынас

Тетраэдрдің әр қабатында сандар іргелес сандардың қарапайым бүтін қатынастары болып табылады. Бұл қатынас 4-қабаттағы көлденең іргелес жұптар үшін келесі түрде бейнеленген:

1   ⟨1:4⟩   4   ⟨2:3⟩   6   ⟨3:2⟩   4   ⟨4:1⟩   1
4   ⟨1:3⟩   12   ⟨2:2⟩   12   ⟨3:1⟩   4
6   ⟨1:2⟩   12   ⟨2:1⟩   6
4   ⟨1:1⟩   4
1

Тетраэдр үш жақты симметрияға ие болғандықтан, қатынас қатынасы диагональды жұптар үшін де (екі бағытта), сондай-ақ көрсетілген көлденең жұптар үшін де орындалады.

Коэффициенттер триномиялық кеңеюдің сәйкес көршілес мүшелерінің көрсеткіштерімен бақыланады. Мысалы, жоғарыдағы суреттегі бір қатынас:

4   ⟨1:3⟩   12

Триномиялық кеңеюдің сәйкес шарттары:

4A3B1C0 және 12A2B1C1

Триномиялық кеңеюдің барлық іргелес жұптарының коэффициенттеріне келесі ережелер қолданылады:

  • Айнымалылардың бірінің көрсеткіші өзгеріссіз қалады (B бұл жағдайда) және елемеуге болады.
  • Қалған екі айнымалы үшін бір дәреже 1-ге көбейіп, бір дәреже 1-ге кемиді.
    • Экспоненттері A 3 және 2 болып табылады (сол жақтағы үлкенірек).
    • Экспоненттері C 0 және 1-ге тең (үлкені дұрыс мерзімде).
  • Коэффициенттер мен үлкен көрсеткіштер өзара байланысты:
    • 4 × 3 = 12 × 1
    • 4 / 12 = 1 / 3
  • Бұл теңдеулер «1: 3» қатынасын береді.

Ережелер барлық көлденең және диагональды жұптарға бірдей. Айнымалылар A, B, C өзгереді.

Бұл арақатынас тетраэдр коэффициенттерін есептеудің басқа (біршама ауыр) әдісін ұсынады:

Іргелес мүшенің коэффициенті азайып бара жатқан айнымалының ағымдық мерзімді көрсеткішіне көбейтілген айнымалының іргелес мерзімді көрсеткішіне көбейтілген ағымдағы мүшенің коэффициентіне тең.

Көршілес коэффициенттердің арақатынасы символдық түрде көрсетілгенде сәл айқынырақ болуы мүмкін. Әрбір терминнің іргелес алты термині болуы мүмкін:

Үшін х = 0: C (x, y, z−1) = C (х, у−1, z) × z / y C (х, у−1, z) = C (x, y, z−1) × у / з
Үшін ж = 0: C (х−1, y, z) = C (x, y, z−1) × х / з C (x, y, z−1) = C (х−1, y, z) × z / x
Үшін з = 0: C (х, у−1, z) = C (х−1, y, z) × у / х C (х−1, y, z) = C (х, у−1, z) × х / у

қайда C (x, y, z) коэффициенті болып табылады және x, y, z экспоненттер болып табылады. Қалталы калькуляторлар мен дербес компьютерлерден бірнеше күн бұрын бұл тәсіл мектеп оқушысы үшін алгебралық кеңеусіз немесе епсіз факториалды есептеулерсіз Биномдық кеңейтуді жазу үшін қолданылды.

Бұл қатынас триномиалық кеңею «триномдық кеңейту байланысы» бөлімінде көрсетілгендей сызықтық емес түрде салынған жағдайда ғана жұмыс істейді.

Паскаль үшбұрышымен байланыс

-Ның сыртқы үш шеті бойындағы сандар екені белгілі nмың Тетраэдрдің қабаты - бірдей сандар nмың Паскаль үшбұрышының сызығы. Алайда, байланыс бір сандар қатарынан гөрі әлдеқайда кең. Бұл қатынас Паскаль үшбұрышын 4 сызыққа дейін және тетраэдрдің 4 қабатымен салыстыру арқылы жақсы көрінеді.

Паскаль үшбұрышы
1
1       1
1       2       1
1       3       3       1
1       4       6       4       1

Тетраэдр қабаты 4
1       4       6       4       1
4      12     12      4
6      12      6
4       4
1

Паскаль үшбұрышының әр жолының сандарын көбейтіп, nмың Сандарымен түзу nмың Сызық nмың Тетраэдр қабаты. Келесі мысалда, Паскаль үшбұрышының жолдары көлбеу қаріппен жазылған және тетраэдрдің жолдары қалың қаріппен жазылған.[2]

1

× 1 =
1

1       1
× 4 =                        
4       4

1       2       1
× 6 =                             
6      12      6

1       3       3       1
× 4 =                                         
4      12     12      4

1       4       6       4       1
× 1 =                                                

1       4       6       4       1

Көбейткіштер (1 4 6 4 1) Паскаль үшбұрышының 4-жолын құрайды.

Бұл байланыс Тетраэдрдің кез-келген қабаты үшін сандарды жылдам фактураларды есептемей-ақ есептеудің ең жылдам және қарапайым әдісін көрсетеді. (Ұзартылған дәлдік калькуляторлары Tetrahedron Layer 200-ден тыс өте баяу болады.)

Егер Паскаль үшбұрышының коэффициенттері C (i, j) және тетраэдр коэффициенттері C (n, i, j), қайда n Тетраэдр қабаты, мен қатар, және j баған болып табылады, содан кейін қатынасты символикалық түрде білдіруге болады:

C (i, j× C (n, i) = C (n, i, j)     мен = 0-ден n, j = 0-ден мен

[Мұны түсіну маңызды i, j, n бұл жерде экспоненттер емес, тек дәйекті индекстеу.]

Паскаль үшбұрышына параллельдер және көпмомдық коэффициенттер

Бұл кестеде триномдық кеңею мен триномдық үлестірілу қасиеттері жинақталған және оларды биномдық және көпмомиялық кеңею мен үлестірулермен салыстырады:

Көпмүшенің түріекі номиналдыүш номиналдыкөп номиналды
Көпмүшенің реті23м
Көпмүшенің мысалы
Геометриялық құрылым[1]үшбұрыштетраэдрм- қарапайым
Элемент құрылымытүзуқабаттоп
Элементтің симметриясы2 жақты3 жақтым-жол
Бір элемент бойынша терминдер саныn+1(n+1) × (n+2) / 2  (n+1) × (n+2) ×...× (n+м−1) / ((м−1)!) Немесе (n+м-1)! / (n! × (м-1)!)
Элемент бойынша коэффициенттердің қосындысы2n3nмn
Терминнің мысалыAхBжAхBжCзAхBжCз... Мм
Көрсеткіштердің қосындысы, барлық шарттарnnn
Коэффициенттік теңдеу[2]n! / (х! × ж!)n! / (х! × ж! × з!)n! / (х1! × х2! × х3! ×...× хм!)
«Жоғарыда» коэффициенттердің қосындысы23м
Көршілес коэффициенттердің қатынасы26м × (м−1)
  • ^1 Симплекс - кез-келген өлшемде болатын қарапайым сызықтық геометриялық форма. Тетраэдралар мен үшбұрыштар сәйкесінше 3 және 2 өлшемді мысалдар болып табылады.
  • ^2 Биномдық коэффициенттің формуласы әдетте келесі түрде өрнектеледі: n! / (х! × (nх)!); қайда nх = ж.

Басқа қасиеттері

Көрсеткіштік құрылыс

Ерікті қабат n келесі формуланы қолдану арқылы бір қадамда алуға болады:

қайда б радиусы және г. - кез келген санының саны орталық көпұлттық коэффициенттер, Бұл

содан кейін оның нәтижесінің цифрларын орау арқылы d (n + 1), аралық г. және жетекші нөлдерді алып тастау.

Ерікті өлшемге жалпыланған бұл әдісті кез-келген кесінділер алуға болады Паскаль симплексі.

Мысалдар

Радикс үшін б = 10, n = 5, г. = 2:

= 10000000001015= 1000000000505000000102010000010303010000520302005010510100501 1 1 1 000000000505 00 00 00 00 05 05 .. .. .. .. .5 .5 000000102010 00 00 00 10 20 10 .. .. .. 10 20 10 ~ 000010303010 ~ 00 00 10 30 30 10 ~ .. .. 10 30 30 10 000520302005 00 05 20 30 20 05 .. .5 20 30 20 .5 010510100501 01 05 10 10 05 01 .1 .5 10 10 .5 .1 оралған. d (n + 1)     аралықта г.      жетекші нөлдер жойылды

Радикс үшін б = 10, n = 20, г. = 9:

Паскальдың №20 пирамида қабаты.

Қатардың коэффициенттерінің қосындысы

Қабаттың әр қатарындағы сандарды қорытындылау n Паскаль пирамидасы береді

қайда б болып табылады радикс және г. «орталық» жолдың қосындысының цифрларының саны (ең үлкен қосындысы).

Радикс үшін б = 10:

 1 ~ 1    \ 1  ~ 1      \ 1   ~ 1          \ 1    ~  1               \ 1     ~  1---      1 \ 1 ~ 02  \ 2 \ 2  ~ 04      \ 3 \ 3   ~ 06            \ 4 \ 4    ~ 08 1       -----      1 \ 2 \ 1 ~ 04   \ 3 \ 6 \ 3  ~ 12         \ 6 \12 \ 6   ~ 24         1  02      ---------       1 \ 3 \ 3 \ 1 ~ 08      \ 4 \12 \12 \ 4  ~ 32                    1  04  04       -------------          1 \ 4 \ 6 \ 4 \ 1 ~ 16                                    1  06  12  08         ------------------                                                           1  08  24  32  161020      1021        1022               1023                     1024

Баған бойынша қабаттың коэффициенттерінің қосындысы

Қабаттың әр бағанындағы сандарды қорытындылау n Паскаль пирамидасы береді

қайда б болып табылады радикс және г. «орталық» баған қосындысының цифрларының саны (ең үлкен қосындысы).

Радикс үшін б = 10:

 1     |1|       |1|            |1|                     | 1|                              | 1|---   1| |1    |2| |2|        |3| |3|                | 4|  | 4|                        | 5|  | 5| 1    -----   1| |2| |1     |3| |6| |3|           | 6|  |12|  | 6|                  |10|  |20|  |10|      1 1 1   ---------    1| |3| |3| |1       | 4|  |12|  |12|  | 4|            |10|  |30|  |30|  |10|              1 2 3 2 1    -------------      1|  | 4|  | 6|  | 4|  | 1       | 5|  |20|  |30|  |20|  | 5|                           1 3 6 7 6 3 1     --------------------------      1|  | 5|  |10|  |10|  | 5|  | 1                                              1 04 10 16 19 16 10 04 01     --------------------------------                                                                             1 05 15 30 45 51 45 30 15 05 011110   1111      1112           1113                    101014                             101015

Пайдалану

Генетикада бір өткелдегі әртүрлі генотиптер арасындағы пропорцияны анықтау үшін Паскаль пирамидасын қолдану кең таралған. Бұл фенотиптер санына (генотиптер + 1) эквивалентті сызықты тексеру арқылы жүзеге асырылады. Бұл сызық пропорция болады.[қосымша түсініктеме қажет ]

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ Стайб, Дж .; Стайб, Л. (1978). «Паскаль пирамидасы». Математика мұғалімі. 71 (6): 505–510. JSTOR  27961325.
  2. ^ Педерсен, Жан; Хилтон, Питер; Холтон, Дерек (2002). Математикалық көріністер: терезелері көп бөлмеден. Нью-Йорк, NY [u.a.]: Springer. ISBN  978-0387950648.

Сыртқы сілтемелер